Al igual que las otras superficies cuádricas descrita en los post anteriores, es necesario que se explique el origen del cuerpo geométrico como tal, es por ello que es necesario empezar explicando lo siguiente: “el hiperboloide de una hoja es producto de la rotación de una hipérbola alrededor de uno de sus ejes de simetría, es decir podemos considerar a un hiperboloide como aquella figura geométrica que se forma por el giro de una hipérbola alrededor del eje x,y o z.”
Se dice que es un sólido en revolución, ya que sí que la hipérbola gira alrededor de uno de sus ejes se forma un cuerpo geométrico tridimensional con ciertas características bajo las cuales se pueden realizar ciertos cálculos, dentro de los más importantes está el cálculo de volumen.
Como se puede observar en la imagen anterior el eje de simetría es el eje rojo, a través de este eje gira la hipérbola formando el hiperboloide de una hoja, mientras que el giro que se da en el eje azul hace que se forma el hiperboloide de dos hojas, que será motivo de estudio de mi próxima publicación.
Ecuación cartesiana del Hiperboloide
En base a esta ecuación podemos realizar ciertas consideraciones en sus trazas en los planos xy, xz, yz, para ello hago el siguiente análisis:
- Si hacemos x = 0, nos quedaría la ecuación de una hipérbola para ser graficada en el plano cartesiano yz. La ecuación de esta hipérbola es la siguiente:
Para la gráfica de esta hipérbola, existe traza en el eje y, y no existe traza en el eje z, por lo que las rectas y=z funcionan como asíntotas de las parábolas generadas en el eje y.
- Si hacemos y=0, nos quedaría la ecuación de una hipérbola para ser graficada en el plano cartesiano xz. La ecuación de esta hipérbola es la siguiente:
Para la gráfica de esta hipérbola, existe traza en el eje x, y no existe traza en el eje z, por lo que las rectas x=z funcionan como asíntotas de las parábolas generadas en el eje x.
- Si hacemos z=0, nos tocaría graficar una elipse en el plano cartesiano xy. La ecuación de la elipse es la siguiente:
Esta elipse tendría su eje mayor en el eje cuya variable en la ecuación de la elipse contenga el mayor valor de las constantes a y b, por ejemplo a =2 y b= 4, el eje mayor estará en el eje y. Si definimos la excentricidad como la proporción en la que la distancia de un eje es mayor al otro, pudiéramos decir que mientras una de las dos constantes, sea a o b sea mayor, en esa proporción la excentricidad será mayor.
Si unimos y enlazamos los gráficos de los tres planos coordenados, las dos hipérbolas y las sucesivas elipses (tomando en cuenta las curvas de nivel, es decir z=k) se genera en el sistema tridimensional un cuerpo en revolución llamado hiperboloide de una hoja.
Gráfico del hiperboloide en el sistema tridimensional empleando el software geogebra 5.0
Para graficar un hiperboloide de una hoja, nos planteamos la ecuación cartesiana del hiperboloide de una hoja, y se le dará valores arbitrarios a las constantes a, b y c. Siendo así, entonces podemos plantear el gráfico de la siguiente ecuación:
Antes de graficar es necesario analizar el gráfico, en este caso el eje del hiperboloide de una hoja es el eje z, ya que esta es la única variable negativa. El gráfico contempla dos hipérbolas, una en el plano xz, y la otra en el plano yz, se tendrá también una superficie de nivel dada por las sucesivas elipses dadas generadas en el plano xy cuando z=k. Teniendo todas estas consideraciones, procedo a introducir la ecuación planteada en la caja de entrada del software matemático geogebra:
De este gráfico hay que tomar en cuenta que se observa un ensanchamiento del hiperboloide en el eje Z positivo, esto es debido a que cuando se grafican las sucesivas elipses del plano xy, a medida que se construyen las elipses en modo superficie de nivel, dando valores arbitrarios a z, a medida que z va tomando valores cada vez más altos las elipses van tomando mayor tamaño, es debido a esto que cuando z toma valores arbitrarios negativos se puede ver en el gráfico que el hiperboloide toma una figura de pequeña magnitud del origen hacia abajo en el eje Z.
Aplicaciones del hiperboloide en la ingeniería
Debemos estar conscientes de que en nuestro planeta cada vez la demanda de energía eléctrica es mayor, la generación de este tipo de energía tiene gastos excesivos en muchos casos, ya que la explotación de recursos naturales en el planeta se da de manera inconsciente en muchos de los casos con la intención de generar energía eléctrica.
Esto ha sido una preocupación a través del desarrollo de la humanidad, debido a los altos costos y el impacto ambiental obtenido, sin embargo el hombre ha agotado todos sus recursos tecnológicos y científicos en desarrollar la energía nuclear como fuente de generación de energía eléctrica.
Se sabe por experiencia que si la generación de este tipo de energía no es controlada y supervisada bajo estrictos controles de seguridad se pueden llegar a tener accidentes catastróficos e irreversibles como el presentado en Chernóbil (Ucrania), en donde por errores humanos se tuvo una descarga por parte de los reactores nucleares, ahora bien la pregunta de análisis para este caso es:
¿Existe alguna relación del hiperboloide de una hoja con la generación de energía nuclear?
Pudiéramos decir que sí, aunque no directamente, y es que lo que se representa como un diagrama esquemático simplificado de un reactor de energía nuclear, emplea un elemento de primordial importancia como lo es la "Torre de enfriamiento".
Como lo podemos observar en el esquema del reactor nuclear, el elemento número 2 pertenece a la torre de enfriamiento, y la razón por la que la torre de enfriamiento tiene la forma geométrica del hiperboloide una hoja es debido a las siguientes razones:
El hiperboloide de una hoja es una superficie que tiene un volumen grande ocupado en una superficie pequeña. Esto en lo que refiere la construcción de centrales nucleares es muy provechoso, ya que al momento de construir torres de enfriamiento se puede ahorrar materiales en su construcción.
Este tipo de torres de enfriamiento, en consideración a copiar la forma geométrica del hiperboloide de una hoja, no tiene su beneficio solamente en el ahorro en los costos de construcción, y es que la razón que más conlleva a la ingeniería a construir torres de enfriamiento en las centrales nucleares con la forma del hiperboloide de una hoja es la propiedad de poder ocupar un espacio en una superficie pequeña.
En base a todos estos argumentos se puede concluir que todos los elementos presentes en la naturaleza ocupando superficies mínimas, son aquellos que la naturaleza toma por sí sola, por lo que podemos concluir que:
"Las superficies más fuertes y resistentes debido a su propia estructura y forma geométrica son las contenidas en los elementos y objetos con forma de hiperboloide de una hoja. Es por ello que la ingeniería ha encontrado en el hiperboloide de una hoja la forma clara y sencilla de construir torres con esa forma geométrica que culminen en obras resistentes, de gran escala y bajo costo."
Bibliografía consultada y recomendada
Libro de Cálculo con Geometría Analítica. Larson y Hostetler. Volumen II.