En esta oportunidad quiero traerles un resumen donde explico un conjunto de consideraciones, pasos, reflexiones acerca de una metodología de estudio acoplada a los intereses de todo aquel que quiera introducirse en el aprendizaje del cálculo diferencial, integral, eso sí considerando primero el aprendizaje de las matemáticas previas al cálculo.
Como profesor de cálculo I,II y III en la Universidad Experimental Sur del Lago Jesús María Semprum (UNESUR) en el programa de Ingeniería de Alimentos, he visto con gran preocupación la forma en cómo los alumnos y docentes entienden el proceso de enseñanza y aprendizaje del cálculo infinitesimal, razón está por la que me he formado una filosofía propia en lo que se refiere a la forma más cercana a lo que considero apropiado para aprender cálculo, esta filosofía se la he transmitido a mis alumnos a través de diversos lapsos de tiempo en la universidad, en cada semestre, en cada oportunidad que tengo les explico las metodologías más importantes que pueden aplicar para que esa forma de aprendizaje pueda quedar fijada más fácilmente.
Sin embargo nunca he recopilado un bosquejo en el que se resuma toda esta filosofía y modo de pensamiento en algo concretamente estructurado, razón por la cual estuve pensando, y creo conveniente dar a conocer todas estas ideas en esta publicación basado en los siguientes puntos:
1. Explorar sobre lo nuevo y diferente
Regularmente todo en el cálculo infinitesimal está dicho y hecho, es difícil encontrar innovación en el cálculo diferencial e integral, sin embargo si se tienen bien sembradas las bases en las gráficas de funciones, límite y continuidad, derivadas y aplicaciones, integrales y métodos de integración, aplicaciones de la integral, se pueden llegar a adaptar gran parte de estos conocimientos a las necesidades de nuestro entorno de investigación.
Existen diversas etapas para ver entre lo nuevo y lo diferente, sea que exploremos y encontremos nuevas aplicaciones del cálculo dentro de la ciencia y la ingeniería, o sino buscar con nuestros conocimientos ya establecidos el poder dejar plasmado un rastro que se vea nuevo y diferente a lo tradicional. Si bien es cierto para lograr muchas de estas cosas hay que estudiarlas dentro de la matemática pura, esa combinación entre ingeniería y ciencia es lo que propone a futuro ir acoplando ideas innovadoras hacia la aplicación de nuevas rutas para el cálculo diferencial e integral.
Esta búsqueda de lo nuevo y diferente es tan necesario, que si muchos nos ponemos a investigar, vamos encontrar en las diferentes ediciones de los libros tradicionales de cálculo, ese interés por mostrar nuevas entradas con introducciones distintas a las de ediciones anteriores.
Lo que se busca también en el proceso de enseñanza y aprendizaje es que el docente imparta una descripción del conocimiento con interrogantes que incentiven la capacidad analítica de los alumnos, con esto se buscará explorar hacia la búsqueda de nuevas aplicaciones de la vida real.
2. Introducción y aspectos teóricos de cada tema
Sobre este punto, es muy importante centrarse en la metodología empleada por el docente al momento de dar la clase, ya que todas las formas aplicadas por enseñar, a la final impactarán sobre el aprendizaje del alumno.
La experiencia obtenida en el rendimiento de los alumnos de cálculo me han llevado a concluir que los alumnos aprenden con bases más sólidas, cuando se les explica un tema partiendo sobre la conceptualización de los aspectos teóricos que son base fundamental del tema, esto siempre va ligado a iniciar la clase con una corta introducción sobre el tema en el que se toca diversos aspectos entre los que resaltan algunos históricos y otros vinculados a otros temas que se relacionan con el que se está explicando.
Un ejemplo claro de cómo iniciar una clase de cálculo enfocado en una parte introductoria podría ser empezando con algún tópico vinculado a la aplicación que puede tener esa parte del cálculo con algún aspecto de la vida cotidiana.
Esta parte introductoria, yo en lo particular recomiendo que no sea de forma lineal, es decir donde solo sea partícipe el docente, necesario es generar esa faceta de interacción donde se argumentan una serie de preguntas de forma abierta que incentiven al debate y la reflexión del auditorio. Es importante también que esta parte introductoria relacione estos puntos sobre la aplicación de la vida real a ejemplos gráficos, recuerden amigos que el cálculo siempre estará vinculado de alguna u otra manera a gráficos.
3. Objetivos de estudio
El tener claro los objetivos planteados, ayuda tanto al docente como al alumno a centrarse concretamente ante una meta específica. Por ejemplo no son los mismos objetivos el del estudiante al del docente al momento de vincular estos dos elementos al cálculo, con esto quiero decir que para el docente es necesario que sepa plantearse los objetivos que busca al momento de activar el proceso de enseñanza para lograr un aprendizaje significativo.
En esa persona que busca aprender cálculo, se debe plantear objetivos concretos, ya que los temas de cálculo son bastantes complejos, el que se pueda llegar a plantear una serie de objetivos específicos ayudan a no caer en confusiones acerca de que estudiar primero, o de que aprender primero, es por ello que si se plantea primeramente cual es el objetivo a buscar, esto ayudará a todo aquel que quiere aprender a estudiar de forma organizada.
4. Indagar sobre la posibilidad de descubrir nuevos conceptos
En los ítems explicados anteriormente, de alguna forma u otra ya se ha planteado mucho de estas ideas, sin embargo lo que se quiere plasmar sobre la búsqueda de descubrir nuevos conceptos, no están apegados a descubrir nuevos teoremas y definiciones, como lo dije anteriormente, ya dentro de lo que conocemos dentro del cálculo gran parte de lo que fundamenta esta parte de la matemática ya está dicho. No se puede descartar la idea de que a medida que la ciencia y la tecnología continúen en avance, debido a esta necesidad se tenga que reformular muchas cosas que nos lleven a descubrir nuevos conceptos del cálculo infinitesimal y que sean aplicados a la medicina, ingeniería y ciencia en general.
Si se explora de manera continua, se puede llegar a seleccionar un conjunto de temas que puedan ofrecer la oportunidad de descubrir nuevas aplicaciones en el área de la ingeniería, si lo vemos desde el punto de vista de que ingeniería es ingenio, entonces es cuestión de activar el ingenio para explorar y descubrir nuevos conceptos aplicados a la ingeniería y ciencia en general.
5. Dar importancia a los aspectos históricos relacionados al cálculo infinitesimal
El cálculo no nace como una simple invención, como quizás muchos piensen, el cálculo nace bajo la necesidad de estudiar todos aquellos fenómenos que involucran tasas de incremento, también por la necesidad existente de encontrar el valor de la pendiente de la recta que es tangente a cualquier curva en un punto dado.
Es por todas estas razones, que en especial cuando explico el tema referente a la derivada de una función, busco enfocarme más en los aspectos históricos del cálculo, ya que los considero como una fuente muy motivadora, ya que si se ve desde ese punto de vista resulta más motivador que aprender entiendo todo este proceso como un conjunto de fórmulas y resoluciones de ejercicios.
Las notas y reflexiones históricas desplegadas durante una clase en donde se esté enseñando referente a algún tema de cálculo en general, ayudará a los estudiantes a comprender los fundamentos matemáticos del cálculo.
6. ¿Por qué estudiar cálculo enfocados en los teoremas y demostraciones?
Desde mi punto de vista el docente está bajo la condición apropiada para resaltar en cada clase por lo menos la demostración de algún teorema que fundamente la base del tema que se va a explicar, esto ayudará al alumno a enfocarse en una visión analítica, donde resulte importante saber el origen de muchas ecuaciones y teoremas, muchas veces la comprensión de estos teoremas facilitan el aprendizaje y comprensión de muchos ejercicios.
7. ¿Qué elementos se pueden considerar herramientas auxiliares de estudio?
Como siempre les digo a mis alumnos: "no se conformen con la enseñanza que nosotros los docentes le impartimos, busquen, investiguen, implementen nuevas herramientas de aprendizaje".
Dentro del marco del aprendizaje, nada está escrito, cualquier aprendiz de cálculo que consiga algún elemento que le ayude a su aprendizaje debe de incorporarlo dentro de sus herramientas auxiliares de estudio. Estas herramientas proporcionan al alumno una guía para ampliar los conceptos teóricos.
Puede significar una herramienta auxiliar de estudio: un libro de cálculo, una calculadora científica, un software matemático, páginas web como YouTube en donde podemos encontrar canales de profesores que expliquen correctamente una temática específica.
8. Complementar con gráficos
Son diversos los temas que se tratan en cálculo, desde temas de pre-cálculo, es decir matemáticas previas al cálculo, pasando desde la teoría de funciones, límite y continuidad, derivadas y aplicaciones, sucesiones infinitas, integrales y aplicaciones, regla de l'hopital y muchos temas más, con esto lo que quiero decir es que resulta difícil enseñar todos aspectos sin la necesidad existente de tenerlos que involucrar con un gráficos que ayude a darle autenticidad.
Por ejemplo cuando se explica la derivada por definición, es necesario asociarlo con el gráfico que termina de definir a la derivada como la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto dado.
9. Sacar provecho de los ejemplos y ejercicios resueltos
Cuando el alumno emplea como herramienta de estudio un libro de cálculo, lo primordial que debe buscar es sacar provecho de los ejemplos que se plantean en cada tema, muchos de esos ejemplos son ejercicios resueltos que sirven de guía y modelo para practicar en base a los fundamentos teóricos.
Al final de cada capítulo, la mayoría de los textos de cálculo presentan una serie de ejercicios propuestos no resueltos, las cuales tienen respuesta solo los ejercicios impares, estas respuestas en su mayoría están en la parte final del libro.
En conclusión mientras más ejercitación exista en la parte de los ejercicios resueltos y propuestos por cada libro, mayor será la comprensión, entendimiento y final aprendizaje en cada uno de los temas de cálculo infinitesimal.
10. Uso de la tecnología
El uso de nuevos software matemático es muy importante para la visualización de muchas gráficas, existen gráficos en el plano bidimensional que resultan fáciles de graficar y de visualizar, sin embargo cuando esta situación se extrapola al plano tridimensional, ya la situación se complica un poco más, es por ello que resulta de ayuda visualizar muchas funciones y cuerpos geométricos en tercera dimensión bajo el uso y aplicación de algún software matemático.
Para los que han leído parte de mi serie temática dedicada a las aplicaciones de las superficies cuádricas pueden verificar que muchas de las gráficas planteadas las he realizado con el uso del software matemático geogebra 5.0
Esperando que las consideraciones presentadas entorno a la metodología para el proceso de enseñanza - aprendizaje del cálculo en base a mis experiencias, sea del gusto y provecho de mis seguidores en la plataforma steemit. Saludos y hasta una próxima entrega de su amigo
Bibliografía consultada
Libro de Cálculo con Geometría Analítica. Larson y Hostetler. Volumen I. 8va edición
Lecturas recomendadas
Hacia un nuevo paradigma en la enseñanza del Cálculo dentro de una institución educativa
Una Alternativa Didáctica para la Enseñanza del Cálculo Diferencial (histórico)