정규분포 통계에서 표준화하면 다들 들어본 기억이 있으실 것이다. 위 그림을 참고하면 좌표상의 1사분면에 위치한 데이터가 표준화에 의해 원점을 중심으로 하여 1,2,3,4 분면에 위치하게 되며 아울러 decision boundary 의 기울기도 변화되었음을 알 수 있다.
Iris flowers data set을 읽어 들인 입력 벡터 X를 카피한 X_std에 대해서 정규분포에서 처럼 표준화 공식을 적용 후 다시 X_std 로 두자.
.mean() 은 평균 값을 구한다는 뜻이며 .std() 는 표준편차를 구한다는 뜻이다.
X_std = np.copy(X)
X_std[:, 0] = (X[:, 0] - X[:, 0].mean()) / X[:, 0].std()
X_std[:, 1] = (X[:, 1] - X[:, 1].mean()) / X[:, 1].std()
이 데이터로 Adaline 알고리듬 코드를 적용하자. 데이터가 표준화도면 원점 (0, 0) 을 중심으로 하여 데이터가 분포하게 된다.
다음과 같이 learning rate=0.01 과 학습횟수 n_iter=15으로 두어 class Adaline()을 호출하고 표준화된 데이터 X_std로 ada.fit(X_std, y) 루틴에 의해 학습을 시키고 decision boundary를 작도해 보자.
ada = AdalineGD(n_iter=15, eta=0.01)
ada.fit(X_std, y)
plot_decision_regions(X_std, y, classifier=ada)
계산 결과를 보면 데이터 가로축과 세로축 상의 작도 위치가 표준화로 인해 변경되었음을 알 수 있다. 아울러 cost 함수의 에러값은 0.0에 빠르게 접근함을 볼 수 있다.
#ch02_Adaline_1_2.py
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.colors import ListedColormap
#Implementing an adaptive linear neuron in Python
class AdalineGD(object):
"""ADAptive LInear NEuron classifier.
Parameters
------------
eta : float
Learning rate (between 0.0 and 1.0)
n_iter : int
Passes over the training dataset.
random_state : int
Random number generator seed for random weight
initialization.
Attributes
-----------
w_ : 1d-array
Weights after fitting.
cost_ : list
Sum-of-squares cost function value in each epoch.
"""
def __init__(self, eta=0.01, n_iter=50, random_state=1):
self.eta = eta
self.n_iter = n_iter
self.random_state = random_state
def fit(self, X, y):
""" Fit training data.
Parameters
----------
X : {array-like}, shape = [n_samples, n_features]
Training vectors, where n_samples is the number of samples and
n_features is the number of features.
y : array-like, shape = [n_samples]
Target values.
Returns
-------
self : object
"""
rgen = np.random.RandomState(self.random_state)
self.w_ = rgen.normal(loc=0.0, scale=0.01, size=1 + X.shape[1])
self.cost_ = []
for i in range(self.n_iter):
net_input = self.net_input(X)
#Please note that the "activation" method has no effect
#in the code since it is simply an identity function. We
#could write `output = self.net_input(X)` directly instead.
#The purpose of the activation is more conceptual, i.e.,
#in the case of logistic regression (as we will see later),
#we could change it to
#a sigmoid function to implement a logistic regression classifier.
output = self.activation(net_input)
errors = (y - output)
self.w_[1:] += self.eta * X.T.dot(errors)
self.w_[0] += self.eta * errors.sum()
cost = (errors**2).sum() / 2.0
self.cost_.append(cost)
return self
def net_input(self, X):
"""Calculate net input"""
return np.dot(X, self.w_[1:]) + self.w_[0]
def activation(self, X):
"""Compute linear activation"""
return X
def predict(self, X):
"""Return class label after unit step"""
return np.where(self.activation(self.net_input(X)) >= 0.0, 1, -1)
#A function for plotting decision regions
def plot_decision_regions(X, y, classifier, resolution=0.01):
#setup marker generator and color map
markers = ('s', 'x', 'o', '^', 'v')
colors = ('red', 'blue', 'lightgreen', 'gray', 'cyan')
cmap = ListedColormap(colors[:len(np.unique(y))])
#plot the decision surface
x1_min, x1_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1
x2_min, x2_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1
xx1, xx2 = np.meshgrid(np.arange(x1_min, x1_max, resolution),
np.arange(x2_min, x2_max, resolution))
Z = classifier.predict(np.array([xx1.ravel(), xx2.ravel()]).T)
Z = Z.reshape(xx1.shape )
plt.contourf(xx1, xx2, Z, alpha=0.3, cmap=cmap)
plt.xlim(xx1.min(), xx1.max())
plt.ylim(xx2.min(), xx2.max())
#plot class samples
for idx, cl in enumerate(np.unique(y)):
plt.scatter(x=X[y == cl, 0],
y=X[y == cl, 1],
alpha=0.8,
c=colors[idx],
marker=markers[idx],
label=cl,
edgecolor='black')
fig, ax = plt.subplots(nrows=1, ncols=2, figsize=(10, 4))
ada1 = AdalineGD(n_iter=10, eta=0.01).fit(X, y)
ax[0].plot(range(1, len(ada1.cost_) + 1), np.log10(ada1.cost_), marker='o')
ax[0].set_xlabel('Epochs')
ax[0].set_ylabel('log(Sum-squared-error)')
ax[0].set_title('Adaline - Learning rate 0.01')
ada2 = AdalineGD(n_iter=10, eta=0.0001).fit(X, y)
ax[1].plot(range(1, len(ada2.cost_) + 1), ada2.cost_, marker='o')
ax[1].set_xlabel('Epochs')
ax[1].set_ylabel('Sum-squared-error')
ax[1].set_title('Adaline - Learning rate 0.0001')
#plt.savefig('images/02_11.png', dpi=300)
plt.show()
#Improving gradient descent through feature scaling
#standardize features
X_std = np.copy(X)
X_std[:, 0] = (X[:, 0] - X[:, 0].mean()) / X[:, 0].std()
X_std[:, 1] = (X[:, 1] - X[:, 1].mean()) / X[:, 1].std()
ada = AdalineGD(n_iter=15, eta=0.01)
ada.fit(X_std, y)
plot_decision_regions(X_std, y, classifier=ada)
plt.title('Adaline - Gradient Descent')
plt.xlabel('sepal length [standardized]')
plt.ylabel('petal length [standardized]')
plt.legend(loc='upper left')
plt.tight_layout()
#plt.savefig('images/02_14_1.png', dpi=300)
plt.show()
plt.plot(range(1, len(ada.cost_) + 1), ada.cost_, marker='o')
plt.xlabel('Epochs')
plt.ylabel('Sum-squared-error')
plt.tight_layout()
#plt.savefig('images/02_14_2.png', dpi=300)
plt.show()