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Reciban un cordial saludo.
En mi artículo anterior analizamos los fundamentos físicos y matemáticos que soportan las leyes de Kirchhoff y demostramos experimentalmente su validez, cuando estas son aplicadas en una red eléctrica para la determinación de sus parámetros descriptivos de corriente y voltaje, los cuales definen su comportamiento.
Sin embargo, este análisis fue aplicado en una red donde lo elementos constituyentes eran netamente resistivos, lo cual conduce a sistemas de ecuaciones fácilmente manejables con herramientas matemáticas relativamente simples.
En este artículo extenderemos nuestro análisis a una red eléctrica donde se incorporan, además de elementos resistivos, elementos inductivos y capacitivos, los cuales generan una vez aplicadas las leyes de Kirchhoff, ecuaciones integro-diferenciales en los que se hace imperativo el uso de uno de los métodos más valiosos en la simplificación y solución de estas ecuaciones conocido como la Transformada de Laplace en honor al notable científico Pierre-Simon, marquis de Laplace a quien le debemos esta importante contribución.
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Fundamentos teóricos
Para comprender de qué se trata iniciaremos nuestro análisis con una red simple de un solo lazo como se muestra en la figura 2, donde están presentes los tres elementos pasivos básicos de un circuito:
(Elaboración propia)
La ley de Kirchhoff de los voltajes (LKV) dada por la ecuación (1) aplicada en la red nos conduce a la expresión (2):
Donde los voltajes de cada elemento son gobernados por las siguientes expresiones:
La sustitución de las ecuaciones (3), (4) y (5) en (2) generan la ecuación integro-diferencial con coeficientes constantes dada por la siguiente expresión:
En la expresión (6) se observa que los requerimientos matemáticos que conducen a la solución de dicha ecuación son de un nivel de mayor exigencia que el utilizado en una red puramente resistiva. El tratamiento matemático por excelencia para la solución de ecuaciones de este tipo es el método de la transformada de Laplace.
¿En qué consiste este método y como se aplica?
La transformada de Laplace es un método eficaz que permite bajo una transformación de dominio (tiempo-frecuencia compleja) del sistema analizado, reducir los sistemas de ecuaciones integro-diferenciales que gobiernan el comportamiento de la red a sistemas donde las ecuaciones resultantes adoptan una forma netamente algebraica.
Definición
La transformada de Laplace (unilateral) de una función está dada por la expresión:
En la que "s" representa la frecuencia compleja, que tiene la forma:
Donde "σ" está asociada con el crecimiento o amortiguamiento de la señal también conocida como frecuencia neperiana y "ω" está asociada a los cambios sinusoidales y es conocida como frecuencia real o frecuencia en radianes.
Para el uso de la transformada de Laplace debemos verificar que esta exista, es decir, que la función "f(t)" sea integrable. Dado que las funciones de uso práctico utilizadas en los análisis de redes cumplen con dicha condición omitiremos dicha verificación.
La transformada de Laplace se expresa de manera simbólica a partir de la siguiente expresión:
Limitaremos la aplicación de la transformada de Laplace para las relaciones de voltaje de cada uno de los elementos que conforman la red dada en la figura 2.
Transformada de Laplace del voltaje en una Resistencia
Transformada de Laplace del voltaje en un inductor
I0 → Corriente inicial en el inductor
Transformada de Laplace del voltaje en un Capacitor
V0 → Voltaje inicial en el capacitor
En cada una de las transformadas de Laplace obtenidas se puede observar funciones algebraicas de voltaje en el dominio de la frecuencia, lo cual facilita el análisis matemático requerido.
Las funciones obtenidas en este dominio, una vez cumplido su objetivo de facilitar los análisis matemáticos, pueden ser trasladadas a su dominio original a través de una transformada inversa definida por la siguiente expresión:
En las figuras (3) y (4) se resumen el cambio de dominio de las funciones de voltaje en cada uno de los elementos y los circuitos equivalentes que resultan de dicha transformación.
(Elaboración propia)
(Elaboración propia)
Parte experimental
Para demostrar la validez y aplicación de la transformada de Laplace utilizaremos una red eléctrica de dos mallas sin energía inicial (I0 = 0 ; V0 = 0) simulada con el software Proteus, tal como se muestra en la siguiente figura:
La transformación de la red eléctrica al dominio de la frecuencia compleja a partir de la expresión (7) aplicada a cada elemento nos conduce al siguiente sistema:
Cálculos y resultados teóricos
Enfocaremos nuestro análisis en la determinación del voltaje de salida en la red, el cual está asociado en nuestro caso con el capacitor.
El voltaje de alimentación alterno seleccionado es una onda con un voltaje pico de 10 Voltios y una frecuencia de 1KHz, lo cual permite modelar dicha fuente a través de la expresión:
De la transformada de Laplace definida por la expresión (7) aplicada a (17) obtenemos:
La aplicación de la ley de Kirchhoff de los voltajes a la red eléctrica en frecuencia nos conduce al sistema de ecuaciones que se muestra a continuación:
La solución del sistema para I2 y su respectiva transformada inversa permite obtener el voltaje de salida dado por la expresión:
Valores de voltaje eficaz (RMS) arrojados por el simulador
Los valores de voltaje eficaz registrados por los multimetros en el simulador en la entrada y salida de la red son respectivamente:
Dado que por definición el voltaje eficaz está relacionado al voltaje pico a través de la siguiente expresión:
Se obtiene:
De esta forma se puede observar que la concordancia entre el valor pico del voltaje de salida obtenido a partir del método de la transformada de Laplace, el cual se expresa en la amplitud de la ecuación (23), y el arrojado en la simulación, validan el método de Laplace.
En las siguientes imágenes tomadas en el laboratorio de prueba, se muestra el montaje real del circuito en el que se sustentan los resultados obtenidos.
En la figura 9 se observan las lecturas de los voltajes obtenidas con el osciloscopio en la entrada y salida de la red (onda color amarillo representa la señal de entrada, onda color celeste representa la señal de salida).
El voltaje pico de las señales de entrada y salida según estas lecturas son de 10v y 250mv respectivamente, lo cual se ajusta a los resultados teóricos y los obtenidos por el simulador.
El desfasaje obtenido por el método del barrido, de acuerdo a lo observado en el osciloscopio es de 79.5 ͦ , lo cual coincide con el desfasaje obtenido en la expresión (23).
Los resultados experimentales evidencian que el método de Laplace es un método valido y preciso en la determinación de los parámetros que describen el comportamiento de una red eléctrica. La simplificación matemática que proporciona dicho método en el análisis de sistemas permite minimizar los procesos computacionales de redes eléctricas gobernadas por sistemas de ecuaciones complejos.
Es importante resaltar que el método de Laplace posee ventajas marcadas sobre otros métodos de análisis entre las que se destaca su aplicación a cualquier tipo de fuente de alimentación y la consideración de la energía inicial de la red.
Espero que la información compartida les permita fortalecer sus conocimientos sobre los análisis utilizados en la descripción de redes eléctricas. Si tienen alguna pregunta, duda o sugerencia, dejen sus comentario y con mucho gusto les responderé.
Gracias por leer mi publicación.
Referencias
- Circuitos Eléctricos. James W. Nilsson. Cuarta edición. Addison-Wesley Iberoamericana.
- Procesamiento de señales analógicas y digitales. Ashok Ambardar. Segunda edición. Thomson Learning.
- Análisis de circuitos en ingeniería. William H. Hayt, Jr., Jack E. Kemmerly, Steven M. Durbin. Sexta edición. McGraw Hill.
- Señales y sistemas, Análisis mediante métodos de transformada y MATLAB. M.J. Roberts. McGraw Hill.