Como mencioné en un post anterior, la existencia del infinito acarrea una serie de paradojas que contradicen el sentido común, lo que se conoce como paradojas contra-intuitivas. El infinito es un concepto muy usado, que muy poca gente entiende, para ello se requiere cierta formación lógica y/o matemática.
En esta oportunidad voy a describir la paradoja del hotel con infinitas habitaciones que fue postulada por al matemático alemán David Hilbert (1862-1943); él fue uno de los matemáticos más influyentes de la historia. Para el año 1900 publicó una serie de problemas, que forjaron el curso de las matemáticas durante el siglo XX. En total fueron 23 problemas y algunos de ellos todavía no se han resuelto. Esta paradoja fue publicada en 1924 y tiene un carácter divulgativo de hechos ya conocidos para la época.
Hay mucho tipos de infinitos, en el post de hoy me referiré solamente al infinito numerable, que es “el infinito más pequeño”, por supuesto que estoy abusando el lenguaje al hacer esta afirmación. Pero no entraré en precisar más esta afirmación. El infinito numerable es el que corresponde con los números naturales, es decir: 1,2,3,….
Las paradojas del hotel con infinitas habitaciones de Hilbert se pueden describir así:
Suponga un hotel con infinitas habitaciones y que esté completamente ocupado por huéspedes, que no tenga habitaciones disponibles, además se requiere cada habitación tenga un solo ocupante. Si un nuevo huésped llega y solicita una habitación el encargado del hotel puede hacer que se desocupe una nueva habitación y hospedar al solicitante y que cada habitación tenga sólo un ocupante, ¿cómo? muy simple.
El encargado hace que el ocupante de la habitación número 1 se nueva a la habitación número 2, el de la habitación 2 a la número 3, y así sucesivamente; es decir el ocupante de la habitación número n se muda para la n+1, para todos los n naturales. Y así se libera el cuarto número 1, que la ocupara el nuevo solicitante.
Ahora suponga que llegan k personas (aquí k es un número natural) y preguntan por habitaciones disponibles. El encargado puede liberar k habitaciones, de la siguiente manera: Hace que el ocupante de la habitación número n se mude para la n+k, esto para todos los números n naturales, y así se liberan los cuartos correspondientes a los números 1 hasta k.
¿Qué pasa si de repente llega un autobús con un numero infinito (numerable) de personas que desean hospedarse en el hotel? Resulta ser que el encargado del hotel puede alojarlos a todos. ¿Cómo?. El encargado mueve el ocupante de la habitación n a la habitación 2n. Así se liberan todos los cuartos impares, como hay una cantidad infinita (numerable) de ellos, ahí se hospedan los recién llegados. Observe que al final todas las habitaciones quedan ocupadas.
Suponga que ahora llegan una cantidad infinita (numerable) de autobuses y cada uno de ellos con una cantidad infinita de solicitantes de habitaciones. ¿Cómo hospedarlos a todos ellos?
Primero, hay que recordar que hay infinitos números primos, resultado que se debe a Euclides; un número es primo si sólo es divisible por 1 y él mismo. Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ….
Volviendo al problema de encontrar habitaciones para los solicitantes. El encargado mueve el ocupante de la habitación número n a la número 2n (2 a la n-esima potencia), de esta forma todas las habitaciones con número que son potencias de 2, están ocupadas y las otras desocupadas.
Ahora llega el primer autobús, el pasajero k-esimo de ese autobús (recuerde que tiene un número infinito de pasajeros) se le asigna la habitación número 3k. Ahora todas las habitaciones cuyo números son potencias de 3 se ocupan.
Con respecto al segundo autobús, al pasajero k-esimo de ese autobús se le asigna la habitación número 5k. Al pasajero k-esimo del tercer autobús se le asigna la habitación 7k. Como pueden observar hasta ahora todas las habitaciones cuyos números son potencias de 2,3,5 y 7 están ocupadas. Este proceso se continua con los otros número primos.
En resumen el pasajero k-esimo del autobús i-esimo se le asigna la habitación número pk, donde p es el primo en la posición i-esima de la lista: {3,5,7,11,13, 17, 19, 23,….} .
Observe que al final de este proceso se tendrán habitaciones vacías (de hecho un número infinito de ellas). Por ejemplo, el cuarto número 15 queda vacío, ya que 15=3x5, no es potencia de ningún primo.
Observen la paradoja aquí: empezamos con un hotel lleno, llegaron un número infinito de autobuses cada uno de ellos con un número infinito de pasajeros. Luego de realizar la operación descrita anteriormente, se termina hospedando a todos los solicitantes que llegaron y el hotel acaba teniendo un número infinito de cuartos varios.
Por supuesto que hay otras maneras, diferentes a las expuestas aquí, de acomodar a los nuevos solicitantes de habitaciones.
Espero que hayan encontrado este material interesante y me gustaría leer sus comentarios. Planeo publicar otros posts explicando otras paradojas que involucra el concepto del infinito.
Referencia:
https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_paradox_of_the_Grand_Hotel