En esta publicación se presenta a la comunidad steemiana una nueva Operación con Conjuntos de gran utilidad y relevancia en el contexto global, se trata de la Diferencia Simétrica de Conjuntos. En el post anterior les hablé de la Diferencia de Conjuntos operación que permitía determinar los elementos de un conjunto que no coinciden con el otro. En el caso de la Diferencia Simétrica de Conjuntos se apoya en la anterior para precisar no solamente los elementos de un primer conjunto que no se encuentran en el segundo sino también los elementos del segundo que no se encuentran en el primero, simultaneidad que le otorga la cualidad de simétrica.
En este sentido, la definición matemática sería la siguiente: sean dos conjuntos cualesquiera A y B subconjuntos del Conjunto Universal, se define la Diferencia Simétrica de Conjuntos como el conjunto formado por la unión de los conjuntos diferencia A menos B y B menos A. Simbólicamente es:
Como puede observarse, se muestra el conjunto diferencia simétrica y la condición que permite afirmar cuando un elemento cualquiera del universo pertenece al referido conjunto. Como es habitual en mis publicaciones, también es necesario conocer el criterio de no pertenencia al conjunto el cual se muestra en la siguiente imagen
La Diferencia Simétrica de Conjuntos puede representarse mediante un Diagrama de Venn como sigue
Ahora bien, si hacemos memoria, en la publicación anterior se presentó una muy importante propiedad de la Diferencia de Conjuntos que en ocasiones permitiría conseguir equivalencias de la definición de la Diferencia Simétrica de Conjuntos que faciliten los cálculos matemáticos en ciertos planteamientos, a saber
A continuación realizaremos la demostración de una de las equivalencias para comprobar la veracidad de utilización de las mismas, las otras alternativas quedan sugeridas a la audiencia a manera de ejercitación de los conceptos involucrados. Procedamos entonces con la siguiente igualdad:
En la siguiente demostración se deben considerar las siguientes definiciones:
- Definición de Igualdad de Conjuntos (es decir, demostrar la doble inclusión)
- Definición de Diferencia de Conjuntos
- Definición de Complemento de un Conjunto
- Definición de Intersección de Conjuntos
- Definición de Unión de Conjuntos
- Propiedades de las Operaciones con Conjuntos
- Leyes lógicas de la conjunción y la disyunción inclusiva
A continuación, desarrollemos la demostración:
i ¿ [(A-B)∪(B-A)]⊂[(A∪B)-(A∩B)]?
∀x∈[(A-B)∪(B-A)]⇒x∈(A-B)∨x∈(B-A) , por definición de unión de conjuntos
⇒(x∈A∧x∉B)∨(x∈B∧x∉A), por definición de diferencia de conjuntos
⇒[(x∈A∧x∉B)∨x∈B]∧[(x∈A∧x∉B)∨x∉A], por ley lógica distributiva de la disyunción inclusiva respecto de la conjunción (cabe acotar que también es válido tomar el segundo paréntesis y distribuirlo respecto del primero)
⇒[(x∈A∨x∈B)∧(x∉B∨x∈B)]∧[(x∈A∨x∉A)∧(x∉B∨x∉A)], por ley lógica distributiva de la disyunción inclusiva respecto de la conjunción
⇒[(x∈A∨x∈B)∧(x∈B∨x∉B)]∧[(x∈A∨x∉A)∧(x∉A∨x∉B)], por ley lógica conmutativa de la disyunción inclusiva
⇒[(x∈A∨x∈B)∧(x∈B∨x∈B')]∧[(x∈A∨x∈A')∧(x∈A'∨x∈B')], por definición de complemento de un conjunto
⇒[x∈(A∪B)∧x∈(B∪B')]∧[x∈(A∪A')∧x∈(A'∪B')], por definición de unión de conjuntos
⇒[x∈(A∪B)∧x∈U]∧[x∈U∧x∈(A'∪B')], por propiedad de la unión de conjuntos A∪A'=U
⇒[x∈(A∪B)∧x∈U]∧[x∈(A'∪B')∧x∈U], por ley lógica conmutativa de la conjunción
⇒x∈[(A∪B)∩U]∧x∈[(A'∪B')∩U], por definición de intersección de conjuntos
⇒x∈(A∪B)∧x∈(A'∪B'), por propiedad de la intersección de conjuntos A∩U=A
⇒x∈(A∪B)∧x∈(A∩B)', por Ley de De Morgan
⇒x∈(A∪B)∧x∉(A∩B), por definición de complemento de un conjunto
⇒x∈[(A∪B)-(A∩B)], por definición de diferencia de conjuntos
∴Se demuestra que [(A-B)∪(B-A)]⊂[(A∪B)-(A∩B)], por definición de Inclusión de Conjuntos.
ii ¿ [(A∪B)-(A∩B)]⊂[(A-B)∪(B-A)]?
∀x∈[(A∪B)-(A∩B)] ⇒x∈(A∪B)∧x∉(A∩B), por definición de diferencia de conjuntos
⇒x∈(A∪B)∧x∈(A∩B)', por definición de complemento de un conjunto
⇒x∈(A∪B)∧x∈(A'∪B'), por Ley de De Morgan
⇒(x∈A∨x∈B)∧(x∈A'∨x∈B'), por definición de unión de conjuntos
En este punto podemos decidir seguir el camino de regreso, transitando los pasos de la parte i o se puede tomar un camino diferente aplicando una doble distributividad. En este caso, para visualizar la otra opción tomaré la alternativa de doble distributividad sin perder de vista a donde nos interesa llegar. Sigamos:
⇒[(x∈A∨x∈B)∧x∈A']∨[(x∈A∨x∈B)∧x∈B'], por ley lógica distributiva de la conjunción respecto de la disyunción inclusiva
⇒[(x∈A∧x∈A')∨(x∈B∧x∈A')]∨[(x∈A∧x∈B')∨(x∈B∧x∈B'), por ley lógica distributiva de la conjunción respecto de la disyunción inclusiva
⇒[x∈(A∩A')∨x∈(B∩A')]∨[x∈(A∩B')∨x∈(B∩B'), por definición de intersección de conjuntos
⇒[x∈∅∨x∈(B∩A')]∨[x∈(A∩B')∨x∈∅], por propiedad de la intersección de conjuntos A∩A'=∅
⇒x∈[∅∪(B∩A')]∨x∈[(A∩B')∪∅], por definición de unión de conjuntos
⇒x∈(B∩A')∨x∈(A∩B'), por propiedad de la unión de conjuntos A∪∅=A=∅∪A
⇒x∈(A∩B')∨x∈(B∩A'), por ley lógica conmutativa de la disyunción inclusiva
⇒x∈(A-B)∨x∈(B-A), por propiedad de la diferencia de conjuntos A-B=A∩B'
⇒x∈[(A-B)∪(B-A)], por definición de unión de conjuntos
∴Se demuestra que [(A∪B)-(A∩B)]⊂[(A-B)∪(B-A)], por definición de Inclusión de Conjuntos.
∴ Por i y ii se demuestra que [(A-B)∪(B-A)]=[(A∪B)-(A∩B)], por definición de Igualdad de Conjuntos ∎
Es importante destacar en este punto que teniendo el dominio de definiciones y leyes, las demostraciones fluyen sin complicaciones, en este caso como pudimos observar no hay un solo camino, existen diversas alternativas sustentadas y es opción del usuario elegir por donde quiere transitar, lo importante es que cada paso tenga una justificación válida y sustentada en la teoría
Propiedades de la Diferencia Simétrica de Conjuntos
Conmutatividad: Sean dos conjuntos cualesquiera A y B subconjuntos del Conjunto Universal, se tiene que la Diferencia Simétrica de Conjuntos cumple con la propiedad conmutativa, esto es A△B=B△A.
A continuación procedamos a la demostración considerando lo siguiente:
- Definición de Igualdad de Conjuntos (es decir, demostrar la doble inclusión)
- Definición de Diferencia Simétrica de Conjuntos
- Definición de Unión de Conjuntos
- Ley lógica conmutativa de la disyunción inclusiva
i ¿ A△B⊂B△A?
∀x∈A△B⇒x∈[(A-B)∪(B-A)] , por definición de diferencia simétrica de conjuntos
⇒x∈(A-B) ∨ x∈(B-A), por definición de unión de conjuntos
⇒x∈(B-A) ∨ x∈(A-B), por ley lógica conmutativa de la disyunción inclusiva
⇒x∈[(B-A)∪(A-B)], por definición de unión de conjuntos
⇒x∈B△A, por definición de diferencia simétrica de conjuntos
∴Se demuestra que A△B⊂B△A, por definición de Inclusión de Conjuntos.
ii ¿ B△A⊂A△B?
∀x∈B△A ⇒x∈[(B-A)∪(A-B)], por definición de diferencia simétrica de conjuntos
⇒x∈(B-A) ∨ x∈(A-B), por definición de unión de conjuntos
⇒x∈(A-B) ∨ x∈(B-A), por ley lógica conmutativa de la disyunción inclusiva
⇒x∈[(A-B)∪(B-A)] , por definición de unión de conjuntos
⇒x∈A△B, por definición de diferencia simétrica de conjuntos
∴Se demuestra que B△A⊂A△B, por definición de Inclusión de Conjuntos.
∴ Por i y ii se demuestra que A△B=B△A, por definición de Igualdad de Conjuntos ∎
Existencia de Neutro: Para cualesquier conjunto A subconjunto del Conjunto Universal, se verifica A△∅=∅△A=A.
Como se puede observar son tres expresiones igualadas, por lo cual se demostrará A△∅=A y la igualdad ∅△A=A se deja sugerida en tanto que el procedimiento es análogo al que se desarrollará a continuación. Por otro lado, la igualdad A△∅=∅△A tiene justificación en la propiedad conmutativa que se acaba de demostrar.
A continuación procedamos a la demostración considerando lo siguiente:
- Definición de Igualdad de Conjuntos (es decir, demostrar la doble inclusión)
- Definición de Diferencia Simétrica de Conjuntos
- Definición de Unión de Conjuntos
- Definición de Intersección de Conjuntos
- Definición del Complemento de un Conjunto
- Propiedades de Unión de Conjuntos
- Propiedades de Intersección de Conjuntos
- Propiedades del Complemento de un Conjunto
i ¿ A△∅⊂A?
∀x∈A△∅⇒x∈[(A-∅)∪(∅-A)] , por definición de diferencia simétrica de conjuntos
⇒x∈(A-∅) ∨ x∈(∅-A), por definición de unión de conjuntos
⇒(x∈A∧x∉∅)∨(x∈∅∧x∉A), por definición de diferencia de conjuntos
⇒(x∈A∧x∈∅')∨(x∈∅∧x∈A'), por definición del complemento de un conjunto
⇒(x∈A∧x∈U)∨(x∈∅∧x∈A'), por propiedad del complemento de un conjunto ∅'=U
⇒x∈(A∩U)∨x∈(∅∩A'), por definición de intersección de conjuntos
⇒x∈A∨x∈∅, por propiedades de la intersección de conjuntos A∩U=A y A∩∅=∅=∅∩A
⇒x∈A∪∅, por definición de unión de conjuntos
⇒x∈A, por propiedad de la unión de conjuntos A∪∅=A
∴Se demuestra que A△∅⊂A, por definición de Inclusión de Conjuntos.
ii ¿ A⊂A△∅?
∀x∈A ⇒x∈A∪∅, por propiedad de la unión de conjuntos A∪∅=A
⇒x∈A∨x∈∅, por definición de unión de conjuntos
⇒x∈(A∩U)∨x∈(∅∩A'), por propiedades de la intersección de conjuntos A∩U=A y A∩∅=∅=∅∩A
⇒(x∈A∧x∈U)∨(x∈∅∧x∈A'), por definición de intersección de conjuntos
⇒(x∈A∧x∈∅')∨(x∈∅∧x∈A'), por propiedad de complemento de un conjunto ∅'=U
⇒(x∈A∧x∉∅)∨(x∈∅∧x∉A), por definición de complemento de un conjunto
⇒x∈(A-∅) ∨ x∈(∅-A), por definición de diferencia de conjuntos
⇒x∈[(A-∅)∪(∅-A)] , por definición de unión de conjuntos
⇒x∈A△∅ , por definición de diferencia simétrica de conjuntos
∴Se demuestra que A⊂A△∅, por definición de Inclusión de Conjuntos.
∴ Por i y ii se demuestra que A△∅=A, por definición de Igualdad de Conjuntos ∎
Existencia de Simétricos: Para cualesquiera conjuntos A y B subconjuntos del Conjunto Universal, se verifica A△A=∅
En la siguiente demostración consideramos lo siguiente:
- Definición de Igualdad de Conjuntos (es decir, demostrar la doble inclusión)
- Definición de Diferencia Simétrica de Conjuntos
- Definición de Unión de Conjuntos
- Propiedades de la intersección y de la diferencia de conjuntos
- Ley lógica de idempotencia de la disyunción inclusiva
i ¿ A△A⊂∅?
∀x∈A△A⇒x∈[(A-A)∪(A-A)] , por definición de diferencia simétrica de conjuntos
⇒x∈(A-A) ∨ x∈(A-A), por definición de unión de conjuntos
⇒x∈(A∩A') ∨ x∈(A∩A'), por propiedad de la diferencia de conjuntos A-B=A∩B'
⇒x∈∅ ∨ x∈∅, por propiedad de la intersección de conjuntos A∩A'=∅
⇒x∈∅, por ley lógica de idempotencia de la disyunción inclusiva
∴Se demuestra que A△A⊂∅, por definición de Inclusión de Conjuntos.
ii ¿ ∅⊂A△A?
∀x∈∅ ⇒x∈∅ ∨ x∈∅, por ley lógica de idempotencia de la disyunción inclusiva
⇒x∈(A∩A') ∨ x∈(A∩A'), por propiedad de la intersección de conjuntos A∩A'=∅
⇒x∈(A-A) ∨ x∈(A-A), por propiedad de la diferencia de conjuntos A-B=A∩B'
x∈[(A-A)∪(A-A)] , por definición de unión de conjuntos
⇒x∈A△A, por definición de diferencia simétrica de conjuntos
∴Se demuestra que ∅⊂A△A, por definición de Inclusión de Conjuntos.
∴ Por i y ii se demuestra que A△A=∅, por definición de Igualdad de Conjuntos ∎
Asociatividad: Para cualesquiera conjuntos A, B y C subconjuntos del Conjunto Universal, se cumple que A△(B△C)=(A△B)△C. La demostración de esta propiedad queda sugerida para la audiencia.
Distributividad: Para tres conjuntos cualesquiera A, B y C subconjuntos del Conjunto Universal, se verifica que (A△B)∩C=(A∩C)△(B∩C). Esta demostración queda sugerida.
Adicionalmente, conviene presentar una experiencia concreta de la cotidianidad en la cual aplica el concepto Diferencia Simétrica de Conjuntos. Supongamos que nos encontramos con dos grandes empresarios que tienen inversiones individuales y otras mancomunadas, utilizando la definición referida es posible identificar aquellas inversiones que no son en sociedad si fuera necesario. Para ello, en principio identificaremos los conjuntos A (inversiones del empresario 1) y B (inversiones del empresario 2) identificando cada una con una letra específica de la siguiente manera:
A={a,b,c,d,e,f,g,h,i}
B={g,h,i,j,k,l,m,n,o}
Los conjuntos dados pueden ser representados en un Diagrama de Venn como sigue
Como sabemos, la Diferencia Simétrica de Conjuntos tiene varias definiciones alternativas, en este caso ejecutaremos dos de ellas:
A△B=(A-B)∪(B-A)
A△B=(A∪B)-(A∩B)
Al proceder con la primera, debemos conseguir las dos diferencias y posteriormente unir los conjuntos resultantes de la siguiente manera
A-B={a,b,c,d,e,f}
B-A={ j,k,l,m,n,o}
(A-B)∪(B-A)={a,b,c,d,e,f,j,k,l,m,n,o} = A△B
Ahora realizaremos la búsqueda aplicando la segunda definición, para lo cual debemos hallar el conjunto unión y el conjunto intersección, posteriormente se procede a encontrar el conjunto diferencia. Procedamos:
A∪B={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o}
A∩B={g,h,i}
Recordando la definición de Diferencia de Conjuntos debemos seleccionar los elementos que pertenecen al primer conjunto que no pertenecen al segundo conjunto, por lo cual obtenemos:
(A∪B)-(A∩B)={a,b,c,d,e,f,j,k,l,m,n,o} = A△B
Como podemos observar, al aplicar las dos definiciones encontramos el mismo resultado, en este caso, hemos hallado las inversiones individuales de los empresarios 1 y 2. Hasta la próxima publicación.
La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles - René Descartes.
Referencia
Armando, R. (2001). Algebra I. Edición XX. Editorial El Ateneo.
Lipschutz, S. (1970). Teoría de Conjuntos y Temas Afines. Teoría y 530 problemas resueltos. Serie de compendios SCHAUM. Mc Graw-Hill.
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