Bir önceki yazımızı Markov'un bu ateş çemberine dahil olmasıyla bitirmiştik. Önceki yazıyı okumayanlar için linkini aşağıda paylaşıyorum.
Markov, Moskova Üniversitesinde profesorluk yapan Nekrasov'un söylediği büyük sayılar kanunu sadece olaylar birbirinden bağımsız ise geçerlidir önerisini reddetmekle kalmamış, bir anlamda Neksravo'un yanlış olduğunu bütün matematik dünyasına göstermek için de büyük çaba sarfetmiştir.
Markov rus bir matematikçiydi. Stokastik süreçler üzerine yaptığı çalışmalarla bilinir. Araştırmasının ana çalışma konusu ilerleyen yıllarda Markov zincirleri ve Markov süreçleri olarak adlandırılmıştır.
Kaynak Wikipedia
İkili arasındaki kavgalar matematiği de aşıp bazen siyaset ve felsefeye dahi ulaştığı eski kaynaklar incelenmesiyle ortaya çıkmıştır. Bu bilgilerin çoğu Markov'un diğer matematikçilere gönderdiği mektuplar sayesinde su yüzüne çıkarken, kendisinin kullandığı uslüpten de anlaşıldığı üzere Nekrasov'a inanılmaz bir kin beslemeye başlamıştır. Yalnızca teorisinin yanlış olduğunu ispat etmemiş üzerine ona kişisel olarak da saldırarak bir nevi Neksarov'u matematik dünyasında küçük düşürmüştür.
Peki güzel anladık adam resmen bilenmiş Nekrasov'a, nasıl çürütmüş peki teorisini?
O zaman başlayalım anlatmaya. Markov, Bernoulli'nin sonuçlarını dahice bir yapı kullanarak bağımlı değişkenleri de kapsayacak şekilde genişletmiştir.
Sülalesi matematikçi doğan Jacob Bernoulli, ailesindeki önemli matematikçilerden biriydi.
Kaynak:
Markov öncelikle kendi deneyinde iki tane bağımsız olaydan bahsediyor. 2 tane torbamız var ve bu torbalardan ilkinde 50 siyah 50 beyaz misket olsun, ikincisinde de biraz daha fazla siyah misketimiz olsun. Mesela 65 siyah 35 de beyaz. Yani ilk torbadan siyah ya da beyaz misket çekme olasılığımız 50%, ikinci torbadan ise siyah çekme olasılığı 65% beyaz çekme olasılığı 35%. Bu olasılıkları birazdan bir torbadan diğerine geçmek için kullanacağız aklınızda olsun.
Bizlere bu sistemin şöyle işleyeceğini anlatıyor. Düşünün ki bu bir makine ve bu makinenin 2 ana durumu var:
- Durum 0. Kaptan çektiğimiz son misketin beyaz renk çıkması durumu
- Durum 1. Kaptan çektiğimiz son misketin siyah renk çıkması durumu
Bu makineyi de rastgele bir durumdan başlatalım, hangisi olduğu çok da önemli değil. Durum 0 ya da 1'e göre de bir torbadan diğerine geçmesini sağlayalım. Bunun gerçekleşmesi için birtakım kurallar gerekiyor. Kural da şuna dayansın. Çektiğimiz son miskete göre mesela beyazsa durum 0'a gidelim siyah ise durum 1'e gidelim.
Üşenmedim oturup bir de figür hazılardım.
Bu koyduğumuz kural sayesinde artık bu makinede tam olarak 4 farklı durum geçişi gerçekleşebiliyor.
- Geçiş 1: Durum 0'ken beyaz misket çekersek Durum 0'da kalırız.
- Geçiş 2: Durum 0'ken siyah misket çekersek diğer torbaya geçeriz böylece durumumuz 1 olur.
- Geçiş 3: Durum 1'ken siyah misket çekersek Durum 1'de kalırız.
- Geçiş 4: Durum 1'ken beyaz misket çekersek diğer torbaya geçeriz böylece durumumuz 0 olur.
Geçiş durumlarını çok net bir şekilde açıklayan animasyon. Kırmızı ve mavi torbaların rengini gösteriyor. Aşağıdaki rakamlarda kaç defa kırmızı kaç defa mavi torbaya gittiğimizin rakamları.
Bu geçişlerin sağlanmasıyla da torbalar arasındaki değişim artık bağımsız değildir. Belirli kurallar çerçevesinde bir torbadan diğerine geçiliyor. Haliyle artık bu geçiş olayları bir önceki olayla ilintili olduğundan bağımsızlığını kaybetmiş ve birbirine bağımlı bir hale gelmiştir.
Nekrasov'un dediğini tekrardan hatırlatalım,
Büyük sayılar kanunun dediği gibi bir olayın çok sayıda deneme sonucunda bir dengeye ulaşması sadece olaylar birbirinden bağımsız ise gerçekleşir
Misket rengine bağlı olarak artık bağımsızlığını yitiren bu mekanizmayı kullanarak Markov bize şunu gösteriyor. Eğer bu makineleri süregelen ve bütün geçiş koşullarının sağlandığı bir şekilde çalıştırırsak sonucunda makinelerin dengeye ulaştığını görmekteyiz. Aşağıda hızlandırılmış bir şekilde siyah ve beyaz misketlerin daha önce belirlediğimiz olasılıklar ve kurallar çerçevesinde çekildiğini görmekteyiz. Sonucunda da denge durumuna varılıyor!
Birçok deneme sonucunda denge durumuna ulaşan durum geçişleri
Bu basit örnek, Nekrasov'un yalnızca bağımsız olayların öngörülebilir dağıtımlar üzerinde birleşebileceği yönündeki iddiasını çürütmüştür. Bu rastgele olayların durumlar arasındaki geçiş metotları ile açıklanmasına da Markov zinciri adı verilmiştir.
Yazıyı sonunda tamamlayabildim. Okuyan herkesi sevgiyle kucaklıyorum. Bir önceki yazıya da verdiğiniz destekler için de ayrıca teşekkür ederim. Bu yazıyı bitirebilmemdeki güç sislersiniz :)
Güzel güzel şeyler, okumalık falan.
http://setosa.io/ev/markov-chains/
http://www.meyn.ece.ufl.edu/archive/spm_files/Markov-Work-and-life.pdf
http://www.meyn.ece.ufl.edu/archive/spm_files/Markov-Work-and-life.pdf
Bu yazi kısmen ingilizceden çevrilmiştir.