在前面的文章介绍了什么是MDP，以及如何求解最优MDP解决MDP问题。接着又介绍了用MD和TD的方法在未知环境下预测MDP。在这些方法中的最优策略π就是为了获得最大值函数(V函数)Vπ(s)或者加入了行动a的Q函数Qπ(s,a)。
然而在实际问题中，比如电子游戏，下象棋棋，状态的个数可以是10的几十到几百个次方，数量可能比宇宙中的微粒都多，不要说遍历一下每一个状态，就是记录下每一个状态都是几乎不可能完成的任务。
其实我们不必记住每一个状态，可以抽取出一些特征(feature) s和对应的权重(W)，将这些特征和权重代替状态作为V函数或者Q函数的输入，然后过迭代和学习得到近似的最优的V函数和Q函数。
1. 近似函数
如下图，黑盒子就是近似函数，输入可以只是特征s，或者s+行动a，输出可以是V函数，或者是带有a的Q函数，当然也可以是带有w的多个Q函数的向量。
近似函数可以是这些特征的线性回归，神经网络，决策树，等等。我们这篇文章以线性组合为例。
2. 梯度下降(Gradient Descent)
既然是线性组合，或者是神经网络，那很自然的就可以用梯度下降的方法来学习咯。
但是问题来了，在监督学习中，梯度下降中用到的损失函数是输出值与实际值之间的方差，然而强化学习问题中，我们是不知道实际值的。为了更好理解梯度下降的方法就，我们先假设我们预先知道Vπ(s)
Vπ(s)和输出的差值的平方，就是损失函数J(W)：
梯度下降中需要修正的权重∆w，就等于梯度的反方向乘以学习速率α(很熟悉的感觉)
如果采用随机梯度下降(Stochastic gradient descent)的方法，∆w则是
3. 线性回归
如果我们将特征s的组合看成，特征向量：
那么我们也可以用线性组合来近似V函数：
此时，
需要修正的权重∆w = 学习速率 * 估计误差 * 特征值
这里要强调的是，“查表”的方法是一个特殊的线性价值函数的近似法：每一个状态就是一个特征，机器人到达这个特征的时候就取1，没有到达就取0，w就是到达这个状态的次数。
4. 预测——递增算法 Incremental Prediction Algorithms
之前的公式我们假设预先知道了Vπ(s)，采用了类似于监督学习的方式。实际上强化学习中是不知道Vπ(s)的。
强化学习中，没有监督，只有奖励，我们用目标值来代替。
- 对于MC算法，目标值就是收获，使用线性近似
收敛至局部最优解 - 对于TD(0)算法，目标值就是TD目标，使用线性近似
收敛至全局最优解 - 对于TD(λ)算法，目标值就是λ收获，使用线性近似，有前向认识(Forward View)反向认识(Backward View)
对于一个完整的Episode，TD(λ)的前向认识和反向认识对于w的改变是等效的。收敛至全局最优解。
通过之前的文章，我们已经理解到了V函数只能预测和评估策略，在没有引入行动A的Q函数之前无法解决控制问题，关于控制的问题，将会在下一篇文章中进行探讨。
同样的本文主要的参考资料来自于David Silver 教授(DeepMind 的创始人)在UCL的课程以及Richard S. Sutton and Andrew G. Barto的经典书籍:Reinforcement Learning: An Introduction