Los críticos de arte han desarrollado un lenguaje para discutir y analizar el arte. Resulta que algunas matemáticas también pueden ser útiles para analizar el arte. Algunas obras de arte o arte consisten en cosas que son agradables a la vista porque son simétricas en un sentido matemático. Aunque el estudio de la simetría se ha realizado implícitamente dentro de las matemáticas durante mucho tiempo, de alguna manera su estudio sistemático es bastante reciente. Fue Felix Klein (1849-1925) quien llamó la atención sobre el hecho de que una forma de clasificar diferentes tipos de geometrías es observar las transformaciones geométricas en cada una de estas geometrías que conservan propiedades interesantes. En particular, interesa la geometría euclidiana, esférica o Bolyai-Lobachevsky para observar las transformaciones geométricas que son isometrías. Una isometría es una transformación que conserva la distancia.
Por supuesto, es importante tener en cuenta que muchas de las piezas de arte que los matemáticos (y otros) analizan utilizando ideas matemáticas pueden no reflejar los intentos del artista de incorporar estas ideas matemáticas en su trabajo. Así como alguien que hace una caja cúbica puede no darse cuenta de que el cubo es un poliedro regular (uno donde todos los vértices son iguales y donde todas las caras son polígonos regulares congruentes), un creador de un tejido puede no saber nada sobre isometrías. Las isometrías en el plano euclidiano son traducciones, rotaciones, reflexiones y reflejos de planeo. Por lo tanto, un matemático puede indicar qué isometrías se utilizan en el diseño de una alfombra, pero eso no significa que el diseñador de la alfombra haya invocado ningún pensamiento matemático. Los científicos sociales han utilizado las ideas de simetría y el conservadurismo de los mecanismos de transmisión cultural en sus estudios. Los arqueólogos y antropólogos han intentado utilizar ideas de simetría para fechar artefactos (cerámica o telas) y para estudiar el comercio y los patrones de comercio.
Una herramienta importante en el análisis de la simetría ha sido el concepto de grupo. El concepto de grupo tiene una historia rica y complicada vinculada al estudio de la teoría de ecuaciones (intentos de demostrar que no se pueden encontrar fórmulas para resolver ecuaciones polinómicas quínticas ) A finales del siglo XIX, la teoría de grupos se estaba utilizando como una herramienta para ayudar a los cristalógrafos a comprender la simetría de los cristales y otras estructuras naturales. De este interés creció el trabajo que posibilitó la clasificación de los mosaicos y patrones utilizando consideraciones de teoría de grupos.
También se puede observar la simetría de un único motivo u ornamento. Ejemplos de tales motivos (ilustrados a partir de patrones utilizados en batiks) se muestran a continuación. Tales ornamentos típicamente tienen simetría rotacional y / o simetría de reflexión.
Un patrón más complejo como el de abajo se puede construir a partir de motivos simples. Tales patrones tienen simetría traslacional en una dirección. Los diseños o patrones de este tipo se conocen como patrones de bandas, bandas o frisos.
Los motivos utilizados para hacer tales patrones de friso pueden aislarse entre sí o fusionarse en un diseño geométrico "continuo" a lo largo de la tira. Si un patrón tiene traducciones en dos direcciones, entonces el patrón a menudo se conoce como un patrón de fondo de pantalla.
Mientras que un artista puede elegir crear un patrón con absoluto y estricto apego en todos los detalles para tener simetría en el patrón, esto no es tan común para los artistas o artesanos "tribales". Por lo tanto, si uno mira cuidadosamente una alfombra que a primera vista parece muy simétrica, es común ver que en un nivel más detallado no es totalmente simétrica ni en el uso del diseño ni en los colores utilizados en diferentes partes de el diseño. Uno puede ver las pequeñas libertades que se toman debido a la dificultad de hacer patrones exactos a mano o porque el artista quiere hacer variaciones tan pequeñas conscientemente. Al analizar la simetría de dicho patrón, probablemente tenga sentido idealizar lo que el artista ha hecho antes de aplicar alguna clasificación matemática de la simetría involucrada.
En los patrones que se muestran arriba, no aparece ningún color. Tenemos un diseño negro sobre fondo blanco. Sin embargo, al analizar la simetría de un patrón, se puede estudiar la simetría involucrada si se descarta el color o si se tiene en cuenta el color. Si miras el batik de abajo desde un punto de vista de simetría, debes idealizar (modelar) lo que está pasando para usar las matemáticas. Este batik no es infinito en una o dos direcciones. Debe decidir qué colores se han utilizado y cuál es el color de fondo.
A muchos les resulta interesante utilizar las matemáticas para decidir qué patrón de simetría está involucrado para diversas interpretaciones de la totalidad o partes de un diseño. E. Fedorov (1859-1919) enumeró los diecisiete patrones bidimensionales en 1891 en un documento que no recibió mucha atención porque estaba en ruso. P. Niggli (1888-1953) y G. Polya (1887-1985) desarrollaron los siete patrones unidimensionales y diecisiete bidimensionales en la década de 1920; Fue a través de este trabajo que se hizo más conocido un enfoque matemático para el análisis de patrones de simetría. Una extensión de este trabajo a la simetría del color fue realizada por H. Woods en la década de 1930. Resulta que hay 46 tipos de patrones de dos colores. Posteriormente, se ha trabajado mucho con respecto al estudio de la simetría en espacios de dimensiones superiores y el uso de muchos colores. Recientemente Branko Grünbaum y Geoffrey Shephard, en una larga serie de artículos conjuntos y en su libro seminal Tilings and Patterns, exploraron muchas extensiones y facetas de patrones, mosaicos y sus simetrías. En particular, Grünbaum y Shephard exploraron la interacción entre la simetría y el uso de un motivo. Esto les permitió, por ejemplo, desarrollar una clasificación "más fina" de los siete patrones de friso y diecisiete patrones de fondo de pantalla. Lamentablemente, este trabajo no es tan conocido como debería ser.
Muchas personas han desempeñado un papel decisivo en la difusión del conocimiento matemático de la simetría y el patrón a académicos externos a las matemáticas, así como al público en general. Uno de los libros más influyentes y antiguos de este tipo fue el libro de Hermann Weyl (1885-1955), Symmetry. También son dignos de mención entre estos divulgadores Doris Schattschneider, Branko Grünbaum, Geoffrey Shephard, Marjorie Senechal, Michele Emmer, H. S. M. Coxeter, Dorothy Washburn (antropóloga), Donald Crowe y Kim Williams. Estos individuos llamaron la atención sobre el uso de la simetría como una herramienta para comprender los diversos aspectos de las telas, los diseños étnicos y la cultura, la arquitectura y el arte, así como para artistas como Escher, cuyo trabajo atormenta a las personas con inclinaciones matemáticas.
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