El origami tradicional se ocupaba de tomar una sola hoja de papel y doblarla en formas complejas, típicamente la de un animal o algo representativo. Sin embargo, Tomoko Fusè revolucionó el mundo del origami desde una perspectiva matemática al popularizar el origami "modular". En el origami modular, por lo general, se comienza con pedazos de papel congruentes (generalmente cuadrados) y se pliega cada uno de estos en "unidades" idénticas. Estas unidades se "tejen" juntas para formar objetos altamente simétricos como poliedros, mosaicos o cajas. Mediante el uso de colores apropiados, a menudo se pueden construir modelos de papel muy atractivos de una amplia variedad de poliedros y mosaicos con atractivas propiedades de simetría. La creatividad involucrada en la unidad de origami radica en los paneles ingeniosos que se han desarrollado y la forma en que los paneles se pueden ensamblar. Los libros de Fusè aparecen en la "sección de arte" de las librerías. Curiosamente, para las personas con cierta experiencia en origami, los de los libros de Fusè que no se han traducido al inglés todavía se pueden usar debido a la universalidad del sistema de instrucciones para plegar origami (por ejemplo, símbolos para pliegues de montañas, pliegues de valles, etc.).
Paralelo a los aspectos artísticos de las construcciones de origami ha sido el desarrollo de una teoría matemática del origami. Esto ha tomado una variedad de enfoques. La elaborada teoría matemática de qué figuras de plano se pueden dibujar utilizando las herramientas de construcción tradicionales euclidianas de borde recto (regla no marcada) y compás tiene un compañero de origami. ¿Cuáles son las formas que se pueden construir usando varias reglas (axiomas) con respecto al plegado de papel? Thomas Hull, Erik Demaine y otros también han estudiado cuestiones relacionadas con el doblado y el origami. Un área de interés principal ha sido el estudio de los patrones de pliegues (sistema de líneas en el papel) que se pueden plegar "planos". Las matemáticas necesarias implican ideas y métodos algo diferentes de lo que se hizo en el pasado para tratar de comprender cómo una pieza de un plano (un cuadrado de papel de origami) podría transformarse mediante una transformación geométrica, porque al final de las partes de transformación de el papel de origami se tocan, aunque no interpenetran en otras partes del papel.
Aquí hay un ejemplo de un resultado espectacular probado en esta área. Supongamos que después de haber doblado un trozo de papel, uno puede hacer un corte a lo largo de una línea recta con el objetivo de tomar las piezas cortadas y abrirlas. ¿Qué piezas conformadas son posibles de esta manera? La respuesta sorprendente es: ¡cualquier gráfico que consta de vértices y segmentos de líneas rectas que se pueden dibujar en el plano es posible! Por ejemplo, uno podría recortar la forma de algo prosaico como la letra "I" o el contorno de una mariposa. Este resultado fue desarrollado originalmente por Erik Demaine, Martin Demaine y Anna Lubiw. Posteriormente, Marshall Bern, Erik Demaine, David Eppstein y Barry Hayes desarrollaron un enfoque diferente del resultado.
Uno puede hacer muchos tipos diferentes de objetos poliédricos utilizando origami modular. Aquí hay una muestra de modelos de origami de Helena Verrill:
Los modelos Origami de poliedros utilizan enfoques en los que los paneles se convierten en las caras de los poliedros, de modo que el desafío se convierte en producir paneles con diferentes números de lados con las mismas longitudes de borde. También se pueden producir poliedros que son "piramidables". Con esto quiero decir que los sólidos representan poliedros convexos con pirámides erigidas en cada cara. (Esas no son estelaciones en el sentido habitual de que los geómetras usan este término). Otros poliedros como estos enfatizan los bordes del poliedro y, en esencia, sirven como modelos de varillas rígidas para los poliedros. Se parecen a los dibujos de Leonardo da Vinci que demostraron las técnicas emergentes de dibujar poliedros en perspectiva.
Además de ser objetos hermosos, muchos de los poliedros que se pueden crear utilizando papel de origami sugieren preguntas matemáticas de interés. Aquí hay un ejemplo simple: uno puede hacer un cubo de seis unidades de piezas de origami. Si estas seis piezas son todas del mismo color, entonces solo se puede hacer un "tipo" de cubo de color. Supongamos que uno tiene tres paneles de un color y tres paneles de otro color. ¿Cuántos cubos inequivalentes puede uno hacer?
El siguiente diagrama muestra una construcción de origami basada en las ideas de Thomas Hull y doblada por Joe Gilardi. En el nivel matemático es una colección anidada de tetraedros doblados de billetes de dólar. ¡Muchos también ven una obra de arte!
En las discusiones anteriores, he trazado la punta del iceberg de las conexiones entre las matemáticas y el arte. Estas conexiones son buenas tanto para las matemáticas como para el arte. Claramente, el interés en las conexiones entre las matemáticas y el arte continuará creciendo y prosperando.
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