En el arte de contar las formas: Permutaciones, Permutaciones circulares, Variaciones y Combinaciones; siguen en la contruccón teórica, como instrumentos para contar.
1°) Permutaciones con repetición: Se hacen presente cuando debemos contar las maneras de elegir n elementos de un conjunto, de n elementos, con la posibilidad de repetición. El resultado es n*exp(n), se obtiene al considerar que para el primer lugar tienes n elementos, para el segundo lugar tambien hay n elementos, para el tercero n elementos, asi sucesivamente, para el n-esimo lugar, tienes n elementos, luego aplicndo el principio del producto, tenemos el resultado mencionado.
Ejemplos:
i) ¿Cuántas funciones se pueden establecer de un conjunto de 3 elementos en un conjunto de 3 elementos?
La respuesta es sencilla 27, porque para el primer elemento hay 3 posibilidades, para el segundo 3 y para el tercero 3, según principio del producto se obtiene 3.3.3, es decir, 27 funciones.
ii) ¿Cuántas funciones hai de un conjunto de 4 elementos a un conjunto de 5 elementos?
La respuesta nuevamente es sencilla, 625 funciones, el razonamiento es analogo al anterior.
iii) Se distribuyen 5 tareas entre 4 estudiantes, un estudiante puede ejecutar varias tareas, ¿de cuantas maneras se puede hacer la distribución?
Larespuesta nuevamente es sencilla, 1024 maneras de distribuir las tareas, para la primera tareas hay cuatro estudiantes posibles, para la segunda tarea tenemos 4 estudiantes, asi sucesivamente, para la quinta tarea tenemos 4 estudiantes, luego el total de maneras de distribuir las tareas es 4.4.4.4.4=1024
2°) Permutaciones sin repetición: Se hacen presente cuando debemos contar las maneras de ordenar los elementos de un conjunto , de n elementos. El resultado es n!, se obtiene al considerar que para el primer lugar tienes n elementos, para el segundo lugar n-1, para el tercero n-2, asi sucesivamente, luego aplicndo principio del producto tenemos el resultado n!
Ejemplos:
i) ¿Cuántas funciones inyectivas, se pueden establecer de un conjunto de 3 elementos en otro conjunto de 3 elementos?
La respuesta es sencilla 6, porque para el primer elemento hay 3 posibilidades, para el segundo 2 y para el tercero 1, según el principio del producto se obtiene 3.2.1, es decir, 6 funciones inyectivas.
ii) ¿Cuántas funciones inyectivas hay de un conjunto de 4 elementos a otro conjunto de 4 elementos?
La respuesta nuevamente es sencilla, 24 funciones inyectivas, el razonamiento es analogo al anterior.
iii) Se distribuyen 5 tareas entre 5 estudiantes, un estudiante debe ejecutar una sola tarea, ¿de cuantas maneras se puede hacer la distribución?
Larespuesta nuevamente es sencilla, 120 maneras de distribuir las tareas, para la primera tareas hay cinco estudiantes posibles, para la segunda tarea tenemos 4 estudiantes, asi sucesivamente, para la quinta tarea tenemos 1 estudiantes luego el total de maneras de distribuir las tareas es 5.4.3.2.1=120
3°) Permutaciones Circulares: se hacen presentes cuando se nos pide contar las maneras de distribuir los elementos de un conjunto de n elementos de manera circular. Se hace necesario fijar un elementoy permutando el resto de los elementos, obtenemos todos los resultados posibles. asi el numero total de ordenar los n elementos de forma circular, es (n-1)!
Ejemplos:
i) ¿De Cuántas se pueden ordenar un grupo de 5 hombres en una mesa circular?
La respuesta es sencilla 24, porque hay que fijar un hombre de referencia y permutar sin repetición los otros, para el primer elemento hay 4 posibilidades, para el segundo 3 , para el tercero 2 y para el cuarto lugar 1 hombre, según principio del producto se obtiene 4.3.2.1, es decir, 24 maneras.
ii)¿Cuántos collares se pueden diseñar con cinco piedras preciosas diferentes?
La respuesta es sencilla, primero el número de permutaciones circulares es 24, y segundo un tipo de collar se repite por simetria, asi que tenemos que dividir por 2, para obtener el número difinitivo de collares posibles, el cual es 12
4°) Variaciones: se presenta cuando de un conjunto de m elementos, se elijen n para ordenarlos, el resultado total se expresa como m(m-1)....(m-n+1), porque para el primer lugar, se dispone de m elementos, para el segundo lugar se dispone de m-1 elementos,...., asi para el lugar n-esimo, se dispone de m-n+1 elementos-
Ejemplos:
i) ¿Cuántas funciones inyectivas, se pueden establecer de un conjunto de 3 elementos en otro conjunto de 4 elementos?
La respuesta es sencilla 24, porque para el primer elemento hay 4 posibilidades, para el segundo 3 y para el tercero 2, según el principio del producto se obtiene 4.3.2, es decir, 24 funciones inyectivas.
ii) ¿Cuántas funciones inyectivas hay de un conjunto de 5 elementos a otro conjunto de 10 elementos?
La respuesta nuevamente es sencilla, 30240 funciones inyectivas, el razonamiento es analogo al anterior.
iii) Se distribuyen 5 tareas entre 6 estudiantes, un estudiante debe ejecutar a lo más una tarea, ¿de cuantas maneras se puede hacer la distribución?
Larespuesta nuevamente es sencilla, 720 maneras de distribuir las tareas, para la primera tareas hay 6 estudiantes posibles, para la segunda tarea tenemos 5 estudiantes, asi sucesivamente, para la quinta tarea tenemos 2 estudiantes luego el total de maneras de distribuir las tareas es 6.5.4.3.2.=720
5°) Combinaciones:se presenta cuando de un conjunto de m elementos, se elijen n sin importar el orden, el resultado total se expresa como C(m,n)=[m(m-1)....(m-n+1)]/(n!), porque se consideran todas las variaciones de m en n, y luego dividimos tal numero de variaciones, por n!, porque hay n! variaciones iguales
Ejemplos:
i) En una reunión de 8 mujeres y 5 hombres¿De cuántas maneras se pueden establecer una comisión constituida por 4 mujeres y 2 hombres?
La respuesta es sencilla 700 maneras, porque para elegir los 4 hombres, hay C(8,4)=70 posibilidades, para elegir los 2 hombres tenemos C(5,2)=10 posibilades, y usando el principio del producto, se obtiene que el numero de maneras de elegir la comisión es 700.
ii) Si el numero de etiquetas disponibles en steemit, es digamos 32, y te permiten elegir 5 ¿De cuántas maneras puedes elegir estas etiquetas?
La respuesta nuevamente es sencilla, C(32,5) =201376 maneras .
iii) Dados 20 puntos, no colineales de a tres, en un plano, ¿Cuantas rectas determinan?
Larespuesta nuevamente es sencilla, C(20,2)=190.
En resumen, los ejercicios siguientes, son para que te diviertas, te espero en la próxima sección , cuando hablemos de multiconjuntos y combinaciones con Repetición.
nota: n*exp(n) representa la n-esima potencia de n, es decir el producto den con n, n veces