El objetivo de este post es ofrecer al lector una noción intuitiva de límite de una función en un punto.
De manera intuitiva se puede definir el Límite de una función en un punto a través de la visualización del comportamiento de una función dada f(x) cuando la variable x se aproxima un número dado a sin llegar a ser a tanto por la derecha como por la izquierda (estos son los límites unilaterales). Para estudiar este comportamiento de la función se elaborarán tablas y gráficos, para ello se le dan valores a x muy próximos a a, por ambos lados (derecha e izquierda), de esa manera se intuye la definición de Límite de una función en un punto.
Veamos el siguiente ejemplo:
Analicemos este límite usando una tabla de valores:
| Valores de x próximos a 1 por la (x<1) | Valores a los cuales tiende la función cuando x se aproxima a 1 por la izquierda |
|---|---|
Es fácil deducir en la tabla que cuando x se aproxima a 1 a través de valores menores que 1, la función se aproxima arbitrariamente a 0,25.
Haciendo un procedimiento similar, pero esta vez a través de valores mayores que 1, pero que se aproximen a 1, esto es por la derecha, ejemplo: 1.1, 1.01, 1.001, 1.0001,...; veremos que la función, al igual que en el caso anterior, se aproxima arbitrariamente a 0.25.
El comportamiento descrito en este ejemplo nos da una idea intuitiva de lo que significa el límite de una función, en este caso particular diremos que el límite de f(x), es decir la función que estamos estudiando, cuando x tienede a 1 es 0,25.
Una condición para que este límite exista, es que el valor al cual se aproxime la función sea igual tanto por la derecha como por la izquierda. (Esto lo veremos en el próximo post)
Esto se expresa formalmente así:
Y se lee:
Este resultado también puede ser visto mediante una gráfica, en la actualidad existe infinidad de aplicaciones en línea que permiten realizar las gráficas y visualizar dinámicamente el límite de una función.
Tal es el aporte que hace José Luis Muñoz Casado quien creó un visualizador de límites con la herramienta Geogebra el cual utilizamos hoy para nuestro ejemplo particular.
Estas son las propiedades algebraicas de los Límites:
• El límite de la función constante es igual a la misma constante.
• El límite de la función identidad es igual al valor al cual tiende la variable.
• El límite de una función potencia es igual a la potencia evaluada en a.
• El límite de un polinomio es igual al polinomio evaluado en a.
• El límite de la función racional es igual a la función racional evaluada en a, siempre que el denominador sea distinto de cero.
Límites indeterminados
Se dice que un límite es indeterminado cuando al sustituir la variable por el valor al cual tiende y evaluar el límite, este da como resultado 0/0.
Al evaluar el ejemplo que venimos trabajando nos resulta indeterminado, pero ya se ha visto que el resultado de este límite es 0.25, por lo cual debemos eliminar la indeterminación, en este caso se debe multiplicar por la conjugada del numerador tanto al numerador de la función como a su denominador.
He aquí el procedimiento
Soporte técnico
https://www.geogebra.org/m/Dv6rjP
Pawer Point para la creación de la imagen