El objetivo de este post es definir de manera tabular, gráfica y algebraicamente los límites unilaterales de una función en un punto. También mostrar cómo la existencia de estos influyen en la existencia del límite de esa función en ese punto.
Consideremos la siguiente función a trozos:
El objetivo que se persigue es estudiar el comportamiento de esta función cuando los valores de x se hacen muy cercanos a 2 tanto por la izquierda como por la derecha.
Comencemos con valores de x próximos a 2 por la izquierda.
En este caso, de acuerdo a la definición de la función, el valor de x puede llegar a ser 2, observe que x≤ 2, pero para efectos de su estudio, centraremos la atención en los valores muy próximos a 2 por la izquierda que no llegan a ser 2, esto es: x<2.
Con esta finalidad se elaborará una tabla de valores para x con esa condición, es decir, x<2.
Veamos
En la tabla se observa fácilmente que f(x) se aproxima arbitrariamente 19 cuando x tiende a 2 a través de valores menores que 2.
En este caso decidimos que el Límite de f(x) cuando x tiene a 2 por la izquierda (lo denotamos 2-) es 19.
Veamos estos resultados en una gráfica, para ello nos vamos a auxiliar con Symbolab una interesante aplicación que permite visualizar los límites unilaterales en línea.
Lo estudiado anteriormente en la tabla y en la gráfica se expresa formalmente así:
Para estudiar el comportamiento de la función, cuando los valores de x se aproximan a 2 por la derecha, esto es, x > 2, se elabora una tabla semejante a la anterior, solo que ahora f(x) queda definida por x2 + 1.
La tabla comienza así:
| f(x)= x2+1 |
|---|
Si esta tabla es completada, se notará, fácilmente, que al acercarse x a 2 a través de valores mayores que 2, pero que se hacen cada vez más próximos a 2 por la derecha, como por ejemplo: 2.1, 2.01, 2.001, 2.0001,......., y así sucesivamente, la función f(x) se aproxima arbitrariamente a 5.
En este caso decimos que el Límite de f(x) cuando x tiene a 2 por la derecha (lo denotamos 2+) es 5, escribimos formalmente así:
Veamos gráficamente este resultado:
A continuación una gráfica integrada de los resultados anteriores:
Para ello nos vamos a apoyar con el trabajo de Ana, Yuri Bibiana Cardona, quien elaboró un trabajo sobre funciones a trozos en Geogebra (Ver ficha técnica)
A través del desarrollo de este post hemos visto dos formas de calcular estos límites unilaterales, la primera a través de la elaboración de tablas y la segunda, a través de la elaboración de su gráfica, veamos ahora una tercera forma:
Cálculo de límites unilaterales algebraicamente
Los límites unilaterales corresponden a una forma analítica para determinar la existencia o no del límite de una función en un punto, por ello son parte integral del límite de una función y cumplen con las mismas propiedades y se resuelven de igual manera que un límite cualquiera; es decir, sustituyendo la variable por el valor al cual tiende.
Este es el desarrollo algebraico de los límites que venimos trabajando:
Identificación de los límites unilaterales a través de gráficas
Algunas veces se hace necesario identificar los límites unilaterales a través de gráficas, en tal sentido observemos la siguiente:
Observando el gráfico sería interesante responder las siguientes preguntas:
¿Cuál es límite de f(x) cuando x tiende a 3 por la derecha?
¿Cuál es límite de f(x) cuando x tiende a 3 por la Izquierda?
¿Cómo son estos valores?
Concluimos este post definiendo la existencia del límite de una función en un punto
Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiene a a existe y es igual a L si solo si existenlos límites unilaterales y son iguales a L .
Esto es:
Los límites de f(x) cuando x tiende a a por la izquierda y cuando x tiende a a por la derecha existen y son iguales a L.
Basados en esta información se afirma que:
- El límite de esta función:
Cuando x tiende a 2 no existe ya que los limites unilaterales existen pero sus valores no son iguales. - El límte de esta función:
Cuando x tiende a 3 existe y es igual a -2 ya que los límites unilaterales existen y son iguales a -2.
Ficha técnica
https://www.geogebra.org/m/dbdugjrx
https://es.symbolab.com/solver/one-sided-limit-calculator/%5Clim_%7Bx%5Cto2-%7D%5Cleft(2x%5E%7B3%7D-3x%20%2B12%5Cright)?or=input