지난 포스팅에서

이 이야기를 했다. 사실 zeta(-1) 의 경우 regulator 를 이용한 방법에 대해 이미 소개를 한 적이 있다. [관련 포스팅 [수학, 과학(?), 계산] 1+2+3+ ... = -1/12 와 Regulator ] 베르누이 숫자를 이용한 것도 이미 이전 포스팅에서 소개했다.

zeta 함수의 reflection functional equation 과 제타함수가 s=1 에서 simple pole 을 갖는다는 사실을 이용하면, zeta(0) 값을 쉽게 구할 수 있다. zeta(0) 값이 나온다면 zeta(-1) 값은 그져 reflection functional equation 의 bonus 로 얻을 수 있다.

먼저 zeta(s) 가 s=1 에서 simple pole with residue 1 의 의미를 수식으로 전개해 보자.

제타함수 정의 4 포스팅에서 이미 이 식을 유도한 적이 있다.

여기에 (1-s) 를 곱하자. 감마함수의 성질

를 이용하면

가 나오고 이로부터

자 여기서 s->1 로 보내면

zeta(-1) 의 값은 zeta(2) 의 값으로 바로 나온다. [관련 포스팅 제타2 참조]

여담으로 reflection equation 에서 zeta(1) 을 구할수 있지 않을까란 생각을 할 수 도 있다.

Gamma(0) 는 정의가 되지 않는 수이다. 따라서 저 위의 식은 아무런 의미가 없다.

이 reflection formula 를 가지고 모든 짝수의 제타함수를 표현할 수 있다. 사실 이를 위해서는

식이 필요하다.

Reflection equation 으로 인해

이를 정리하면

참고로 이 결과를 [수학, 계산] zeta2 포스팅의 삼각함수 편에서 다룬 적이 있다.

감마 함수 관련 포스팅

[수학, 계산] 감마 함수의 정의-1 :팩토리얼, 가우스, 오일러의 정의
[수학, 계산] 감마 함수의 정의-2, 그 나머지 편
[수학, 계산] Euler-reflection formula - 버전1 : Basel problem 을 이용한 풀이
[수학, 계산] Euler-reflection formula - 버전2 : 복소 함수를 이용한 풀이
[수학, 계산] Euler-reflection formula - 버전3 : 미분방정식을 이용한 풀이
[수학, 계산] 감마함수의 전개 1-기본편
[수학, 계산] 감마함수 전개 2 : 계산 및 응용

제타함수 관련 포스팅

-[수학, 계산] 제타함수의 다양한 정의-1 정수 지수편
-[수학, 계산] 제타함수의 다양한 정의-2 디리클렛 에타 함수 //Binomial transformation
-[수학, 계산] 제타함수의 다양한 정의-3 // Analytic continuation-1
-[수학, 계산] 제타함수의 다양한 정의-4 // Analytic continuation-2 with functional equation
-[수학] 제타함수 Analytic continuation의 의미

-[수학, 계산] 제타함수 계산법
-[[수학, 계산]zeta 4 : version 1 삼각함수 이용]
-[[수학, 계산] zeta 4 : version 2 푸리에 전개]
-[수학, 계산] zeta 4 : version 3 파사발 정리
-[수학, 계산] zeta2

---

_{Sponsored ( Powered by dclick )}

MyDiceBot

^{Ultimate Bitcoin Dice Bot}