앞선 글에서 수학 이야기[MVT] 가 나온 김에, 좀 더 수학 이야기를 해보자.
이번 포스팅에는 groupoid [우리말로는 준군]에 대해 다루어 볼까 한다. [오랜만에 좀 전문적인 내용을 다루어 본다.] 일단 Groupoid 는 group 을 확장한 개념이다. group 만 해도 공부할 거리들이 넘쳐나고 Finite groups, Lie groups, ..... 많은 학생들에게 좌절을 주는 과목인데.. 왜 Groupoid 가 중요하냐고? 이것에 대한 설명은 뒤로 미루어 보자.
일단 이번 포스팅의 자료는 위키(?) 와 예전에내가 만든 파일이다. 뭐 이것도 수학 논문이나 책을 기반으로 정리한 건데, 어떤 부분에서 어떤 것을 참조했는지 기억이 나지 않는다. ㅠㅠ
여기서 우리는 군(group) 이 준군(groupoid) 중에서 특별한 경우 임을 알 수 있다. [집합의 역원이 e 하나일 때 groupoid 는 group 이 된다.]
Modern Mathematics 는 이른바 Category 를 이용하여 기술할 수 있는데, [ 칸트가 만든 철학에서의 category theory 와는 다르다. - 유사성이 있는지에 대해선 잘 모르겠다. ] Category theory 입장에서 보면, groupoid 는
a groupoid is a small category in which all morphisms are invertible.
라 쓸 수 있다. [수학에서 Category 는 morhpism 과 object 로 구성되어 있다.]
Groupoid 의 경우 두개의 set Gamma 와 Gamma 0, 그리고 특정 관계에 있는 5개의 map (section, source, target, multiplication, inverse) 으로 기술 할 수 있다.
Formal 한 정의를 서술하기 전에 category sense 에서 arrow 와 object 에
대해 설명해 보자.
category theory 는 objects 와 그 object 사이의 arrow 로 기술이 된다. arrow 는 object 사이를 연결해주는 것으로 morphism 이라고 보면 된다.
자 이런 arrows 의 set 을 Gamma 로 object 의 set 을 Gamma 0라 하자
이제 Groupoid 를 정의할 조건이 갖추어 졌다.
이 정의가 앞에 category sense 에서 정의한 것과 정말 같을까? [같다! 이는 종종 exercise 로 많이 나오는 내용인데.. 여기서는 다루지 않도록 하자]
예제 - Groupoid 의 map 에 smooth 구조를 주자. 그러면 우리는 Lie groupoid 를 정의할 수 있다. [Lie group 이 topological group 인 것처럼, 당연히 Lie groupoid 는 topological groupoid 이다.]
개인적으로 그 수학적 구조를 더 보기 쉬운 정의는 explicit 한 정의가 아닌가 싶다. [아직 내 내공이 부족해서 ㅠㅠ]
Groupoid 는 사실 내 주된 관심사는 아니다. 나는 groupoid 보다는 Algebroid에 관심이 많다. Group 과 Algebra 를 제대로 구별하기 위해서는 R-module 과 R-algebra 를 알아야 하는데, 기본적인 차이는 연산이 하나 더 존재한다는 것에 있다. [R-Module 에서는 +[Set 사이의 연산], 와 scalar multiplication [R과 set 사이의 곱] 만 있는 반면, R- Algebra 는 Set 사이의 multiplication 이 하나더 존재한다.]
Leibinz rule 만 주어진 Leibinz Algebroid 로 시작해서 Lie Algebroid, Lie bi-algebroids. 여기서 시작한, 소위 말하는 quantum group, quantum algebra 까지 이쪽도 가야할 길이 많다. 이러한 Algebroid 를 통해 Geometry 를 기술 할 수 있는데, 기하학적 접근도 굉장히 흥미로운 분야이다. [ Algebroid 는 Deformation quantization 혹은 Geometric quantization 에서 매우 강력한 도구로 사용된다. 혹시 기회가 된다면 quantization 과 decoherence 에 대해 정리해 보고 싶은데, 너무 전문적인 내용이려나? ]
또한 quantum algebra 자체도 수학에서의 통일장 이론을 찾아가는 하나의 tool, 시야를 제공해 주는 분야라 앞으로 더 많은 연구가 필요한 분야이다.
능력이 된다면 이런 분야들을 한번 깊게 공부해 보고 싶다. [일단 지금 알고 있는것부터 안 까먹었으면 좋겠다. ㅋㅋㅋ]
수학이란 것이 앞부분은 참 쉬운데 뒤로 가면 갈 수록 이해하기가 쉽지 않다. 물리나 화학은 한번 배우면 잘 안 까먹는데, 수학은 중간부터 공부할 수도 없고, 또 예전엔 이해했던 논리가 지금은 잘 되지 않는 등, 장애물들이 많긴 하다.
category 이론과 [prodct, coprudct - duality 등등] Algebroid 에 대해서 한번 복습과 정리를 해 볼 필요가 있어 보인다.
여튼 오랜만에 친구들(?)에게 수학 관련 연락이 와서 생각난 김에 관련 내용들을 끄적여봤다.
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