Im letzten Post habe darüber berichtet, wie ich meine Schüler mit Münzen an das Volumen von Zylindern herangeführt habe. Gestern habe ich sie mit dem Volumen von Pyramiden belustigt. Da das Volumen einer Pyramide in ein Prisma mit gleicher Grundfläche und Höhe 3 mal in das Prisma passt, ist die Idee einen Umkipp-Schülerversuch zu machen naheliegend.
Gedacht getan. Ich kann euch nur so viel verraten: Es ist nicht die allerbeste Idee ca. 14jährige Wasser zum "Spielen" in die Hand zu geben. Da ich 3 Klassen der selben Sorte habe, bin ich dann mit der 3. Klasse in den Chemieraum gegangen, welcher das geplansche besser verkraftet hat. LOOL
Dennoch war es im großen und ganzen ein gelungener Schülerversuch.
In the last post, I talked about how I introduced my students to the volume of cylinders using coins. Yesterday I amused them with the volume of pyramids. Since the volume of a pyramid fits into a prism with the same base area and height 3 times, the idea of doing a refilling student experiment is obvious.
Thought done. I can only tell you this much: It's not the best idea to give 14-year-olds water to “play” with. As I have 3 classes of the same type, I went into the chemistry room with the 3rd class, which was better able to cope with the splashing. LOOL
Nevertheless, on the whole it was a successful student experiment.
Für morgen steht aber die Challenge Kegel auf dem Programm. Da das Schuljahr nicht mehr lange geht, ist mein Plan Volumen und Oberfläche in einer Unterrichtsstunde abzuhandeln. Natürlich könnte man das Volumen vom Kegel auch über Abfüllen präformal herleiten. Denn das Kegelvolumen passt auch 3 mal in einen Zylinder. Das werde ich auch tun. Allerdings lass ich das diesmal nur einen Schüler vorne vorführen. Sonst gehen der Schule noch die Papiertücher aus. LOOL
Bei der Oberfläche bin ich über eine interessante Frage gestolpert. Stellt euch vor ihr habt einen Kegel und wickelt die Mantelfläche ab. Ihr könnt euch auch vorstellten, dass ihr einen Partyhut aufschneidet und dann ausbreitet. Für meine Schüler wird die erste Frage sein, was man dabei erhält. Na wisst ihr es schon?
Richtig, einen Kreisausschnitt. Ein Teil von einem Kreis. Aber das ist noch nicht die Frage, auf die ich hinaus will. Wie groß ist dieser Kreis eigentlich?
Ist es ein Halbkreis? (Das denken relativ viele Leute) Sind es 42% eines Kreises? Sind es 73% eines Kreis? Die Frage ist garnicht so leicht zu beantworten. Damit wir ein paar Variablen und was zum anschauen haben, habe ich mich mal bei Wikipedia bedient.
However, the cone challenge is on the agenda for tomorrow. As the school year is not long away, my plan is to cover volume and surface area in one lesson. Of course, the volume of the cone could also be derived preformally by filling. Because the volume of the cone also fits 3 times into a cylinder. I will do that too. However, this time I'll only let one student demonstrate it in front. Otherwise the school will run out of paper towels. LOOL
I stumbled across an interesting question on the surface. Imagine you have a cone and unwind the surface. You can also imagine that you cut open a party hat and then spread it out. For my students, the first question will be what you get. Do you already know?
Right, a section of a circle. Part of a circle. But that's not the question I want to get to yet. How big is this circle?
Is it a semicircle? (A lot of people think so) Is it 42% of a circle? Is it 73% of a circle? The question is not so easy to answer. So that we have a few variables and something to look at, I have helped myself to Wikipedia.
So sieht unser Partyhut ausgebreitet aus. Links seht ihr ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s. Unser Kreisausschnitt hat s als Radius und den Umfangen der Grundfläche des Kegels als Teilumfang des Vollkreises mit Radius s.
Wenn man jetzt wissen wollte wie viel Teilumfang wir vom ganzen Kreis haben, müsste man den Mittelpunktswinkel α (Das ist der Winkel um den Mittelpunkt S bezogen auf die graue Fläche.) durch 360° teilen. Hätten wir zum Beispiel α=180° (Halbkreis) und würden das durch 360° teilen würden wir auf das Verhältnis 1/2 kommen. Es wären also 50% des Vollkreises.
Das Verhältnis von α zu 360° ist aber beim Kegel das selbe wie der Umfang der Grundfläche des Kegels zu unseren Teilumfang. Wir müssen also folgendes rechnen:
This is what our party hat looks like spread out. On the left you can see a right-angled triangle with the hypotenuse s. Our section of the circle has s as its radius and the circumference of the base of the cone as the partial circumference of the full circle with radius s.
If we now wanted to know how much of the circumference we have of the whole circle, we would have to divide the center point angle α (this is the angle around the center point S in relation to the grey area) by 360°. For example, if we had α=180° (semicircle) and divided it by 360°, we would arrive at the ratio 1/2. It would therefore be 50% of the full circle.
However, the ratio of α to 360° for the cone is the same as the circumference of the base of the cone to our partial circumference. We must therefore calculate the following:
(2πr)/(2πs)=r/s
So und jetzt haben wir DIE FRAGE beantwortet. LOOL
Klein Scherz am Kegel. Das Verhältnis ist also r/s. Da wollen wir noch ein wenig drüber nachdenken. Wann hätten wir denn beim Aufklappen eines Kegels genau einen Halbkreis?
Ihr sagt es. Wir hätten einen Halbkreis, wenn s doppelt so groß ist wie r. Sagt uns dieses Verhältnis noch mehr. Was wäre denn wenn ich s konstant halten würde und r größer oder kleiner mache? Diese Antwort wollen wir uns noch gönnen. Meine Schüler müssen leider darauf verzichten, da sie die Mathematik dafür erst in 2 Jahren kennen werden.
Ich hatte ja erwähnt das s auch die Hypotenuse in dem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten r und h ist. Schauen wir uns mal den Winkel φ an. Was passiert eigentlich, wenn man s konstant lässt und nur φ ändert? Das würde natürlich r ändern. (Natürlich darf sich unser φ nur zwischen 0° und 90° bewegen.) Und wisst ihr wie man diese Änderung nennt? Das ist gerade der Sinus von φ. Da r die Gegenkathete zu φ ist und s die Hypotenuse, handelt es sich bei dem Verhältnis r/s gerade um den sin(φ).
Ändern wir unser φ zum Beispiel von 45° auf 60°, hätten wir den Mantleflächenkreisausschnitt von knapp 71% auf 87% erhöht. Übrigens da sin(30°)=1/2, hätten wir mit φ=30° genau einen Halbkreis. Auf meinen Kopf würde so ein Partyhut allerdings nicht passen. LOOL
So now we have answered THE QUESTION. LOOL
Small joke on the cone. So the ratio is r/s. Let's think about this a little more. When would we have exactly a semicircle when we unfold a cone?
You said it. We would have a semicircle if s is twice as big as r. Does this ratio tell us anything else? What would happen if I kept s constant and made r bigger or smaller? We still want to indulge in this answer. Unfortunately, my students will have to do without it because they won't know the math for it for another 2 years.
I mentioned that s is also the hypotenuse in the right-angled triangle with the cathets r and h. Let's take a look at the angle φ. What actually happens if you leave s constant and only change φ? That would of course change r. (Of course, our φ can only move between 0° and 90°.) And do you know what this change is called? This is just the sine of φ. Since r is the opposite leg of φ and s is the hypotenuse, the ratio r/s is just the sin(φ).
If we change our φ from 45° to 60°, for example, we would have increased the mantle surface circle section from just under 71% to 87%. By the way, since sin(30°)=1/2, we would have exactly a semicircle with φ=30°. However, such a party hat would not fit on my head. LOOL