Der Unterschied ist fundamental und auch von einem Laien in Rechtsfragen kurz zu erklären.
Rechte kann man von Natur aus besitzen. Es gibt auch ein geschriebenes Naturrecht, welches etwa unabhängige Common Law Gerichtshöfe anwenden [1, 2]. Dieses dient staatlichen Gesetzgebungen normalerweise nur in Teilen als Grundlage. Wie es sich mit den Grundlagen der Gesetzgebungen in der westlichen Welt und/oder dem deutschsprachigen Raum verhält, ist mir nicht in Gänze bekannt. Das römische Recht bildet sicherlich immer noch einen Teil der Grundlagen, mir wurde auch schon gesagt, dass das heutige Rechtssystem auf dem Seerecht basieren soll. Wobei mit dem Term Landrecht eventuell auch nur das preussische Landrecht gemeint war, welches aktuell in Ermangelung eines existierenden preussischen Staates nicht angewendet wird.
Ein Anspruch unterscheidet sich insofern fundamental von einem Recht, als dass er jemanden oder Geldmittel braucht, der ihn erfüllen oder zufriedenstellen kann. Sofern die Erfüller des Anspruchs fehlen, muss er verfallen. Im Artikel 26 der Menschenrechtscharta der Vereinten Nationen [3] wird von einem jedem Menschen zu gewährenden Recht auf unentgeltliche (Grund-)Bildung gesprochen. So sehr ich es begrüsse würde, wenn alle jungen Menschen auf der ganzen Welt eine hochwertige Bildung erhalten würden, die sie zu eigenverantwortlichen, starken und friedlichen Erwachsenen formt, so sehr weiss ich auch, dass diese ohne entsprechende Lehrkräfte und schon gar nicht ohne anfallende Kosten realisiert werden kann. Die Menschenrechtscharta besitzt auch keine rechtliche Verbindlichkeit. Es ist also nicht möglich, via den Rechtsweg von einem Lehrer kostenlosen Unterricht einzufordern.
Um die rechtliche Verbindlichkeit sollte es mir hier auch nicht gehen, sondern um die Tatsache, dass auch bei den Publikationen von in der allgemeinen Öffentlichkeit sehr angesehenen Organisationen wie der UN mit sprachlichen Begriffen nicht unbedingt exakt gearbeitet wird. Teilweise aus gutem Grund. Dass die UN nicht ganz überall hoch angesehen ist, ist mir bewusst, aber wirklich kritisiert wird sie wohl nur von einem sehr überschaubaren Kreis von Menschen. Unter anderem von passionierten freiheitlichen und antikommunistischen Organisationen wie der amerikanischen John Birch Society. In der Zeit der Gründung der UN befürchteten einige US-Amerikaner eine Einschränkung ihrer Souveränität, die ein Beitritt der USA zu einer weltumspannenden, supranationalen Organisation zu Folge haben könnte. Nicht zuletzt wegen diesen Vorbehalten wurden den USA innerhalb der UN eine Reihe von Sonderrechten zugestanden.
[1] https://de.wikipedia.org/wiki/Naturrecht
[2] International Common Law Court of Justice Vienna
http://www.iccjv.org/naturrecht
[3] Artikel 26 der Menschenrechtscharta der Vereinten Nationen
1. Jeder hat das Recht auf Bildung. Die Bildung ist unentgeltlich, zum mindesten der Grundschulunterricht und die grundlegende Bildung. Der Grundschulunterricht ist obligatorisch. Fach- und Berufsschulunterricht müssen allgemein verfügbar gemacht werden, und der Hochschulunterricht muß allen gleichermaßen entsprechend ihren Fähigkeiten offenstehen.
2. Die Bildung muß auf die volle Entfaltung der menschlichen Persönlichkeit und auf die Stärkung der Achtung vor den Menschenrechten und Grundfreiheiten gerichtet sein. Sie muß zu Verständnis, Toleranz und Freundschaft zwischen allen Nationen und allen rassischen oder religiösen Gruppen beitragen und der Tätigkeit der Vereinten Nationen für die Wahrung des Friedens förderlich sein.
3. Die Eltern haben ein vorrangiges Recht, die Art der Bildung zu wählen, die ihren Kindern zuteil werden soll
[4] F. W. Pomeroy's 1906 statue of Justice on the dome of the Old Bailey (Central Criminal Court) in London, England, UK. Das Bild darf unter CC A 2.5 weiterverbreitet werden und wurde von User Erasoft74 in folgendem Artikel auf Wikipedia eingestellt: https://en.wikipedia.org/wiki/Lady_Justice