Wie groß wäre die Wahrscheinlichkeit auf einen Sechser wenn die Ziehungsreihenfolge eine Rolle spielt ?
Fangen wir einmal mit der Frage an wie viele Möglichkeiten es gibt:
Berechnet wird dies gemäß folgender Formel 49 x 48 x 47 x 46 x 45 x 44 / 1 / 2 / 3 / 4 / 5 / 6
Ich habe die 1 als Teiler mit aufgenommen, damit es klarer wird.
Also gibt es 13.983.816 Möglichkeiten
Warum gibt es diesen Teiler überhaupt ?
Nun:
Bei der ersten Kugel sind es 49 Möglichkeiten.
Bei der zweiten Kugel dann 48 Möglichkeiten, denn die zuerst gezogene Kugel scheidet aus.
Also gibt es 49 x 48 = 2352 Möglichkeiten wie die ersten beiden Zahlen fallen können.
Ein Beispiel:
Ich habe die Zahlen 1 und 2 auf meinem Tippschein. Nun ist es mir egal, ob die 1. gezogene Kugel die 1 und die 2. gezogene Kugel die 2 oder ob die 1. gezogene Kugel die 2 und die 2. gezogene Kugel die 1 ist.
Insofern habe ich eine Chance von 1 aus 1176, dass die ersten beiden Ziffern korrekt sind.
Man kann dies entsprechend weiterführen und daher kommt, dass der Teiler je mehr Kugeln gezogen werden immer weiter ansteigt.
Nun zurück zur Ausgangsfrage:
Wie groß wäre die Wahrscheinlichkeit auf einen Sechser wenn die Ziehungsreihenfolge eine Rolle spielen würde
Die Rechnung ist einfach, wir nehmen obige Rechnung und lassen einfach den Teiler weg:
49 x 48 x 47 x 46 x 45 x 44 = 10.068.347.520
Warum sinkt der Wert immer weiter und warum wird nicht 49 x 49 x 49 x 49 x 49 x 49 gerechnet ?
Nun dies ist der Tatsache geschuldet, dass eine Kugel nur einmal gezogen werden kann, d.h. mit jeder gezogenen Kugel gibt es eine Kugel weniger, die zum Ziehen zur Verfügung steht.
Man sieht also, dass einen Sechser zu erreichen, wenn die Ziehungsreihenfolge eine Rolle spielen würde um den Faktor 720 unwahrscheinlicher ist als es dies ohne Beachtung der Ziehungsreihenfolge ist.
Zusatzfrage:
Wie verhält es sich mit den Wahrscheinlichkeiten wenn immer mehr Zahlen angekreuzt werden dürfen ?
Nun bei Beachtung der Ziehungsreihenfolge wird die Zahl der Möglichkeiten immer größer und größer.
Was ist aber wenn die Ziehungsreihenfolge keine Rolle spielt ?
Nun wie man sieht steigt die Zahl der Möglichkeiten zwar rasant an, aber dieser Anstieg wird immer kleiner.
Bei der ersten Kugel sind es 49 Möglichkeiten, bei der zweiten steigt dies um das 24-fache (48 / 2) an.
Bei der 3. Kugel nur noch um weniger als das 16-fache (47 / 3) und bei der 4. Kugel bereits nur noch um das 11,5 (46 / 4).
Bei der 24. Kugel beträgt schließlich der Anstieg nur noch das marginale 1,04-fache.
Bei der 25. Kugel kommt dann die Wende und die Zahl der Möglichkeiten fällt um den Faktor 0,96.
Witzigerweise gibt es bei der 43.Kugel (ok es ist eine lange Rechnung - glaubt es mir einfach) nur noch 13.983.816 Möglichkeiten.
Irgendwoher kennen wir diese Zahl doch ?
Genau - es sind exakt die Möglichkeiten von 6 aus 49.
Aber warum ist das so ?
Die Erklärung ist plausibel: Es ist doch egal, ob ich auf dem Lottoschein 6 Felder ankreuze (und 43 freilasse) oder 43 Felder ankreuze (und 6 freilasse).