Anknüpfend zu Österreichische Schule (Wiener Schule) Phänomenadäquanz, will ich in Teil B noch etwas mehr über unsere derzeitige Arbeit verraten.
Eine phänomenadäquate Theorie der Arithmetik
Die Verankerung einer Theorie in der Phänomenalität besagt nicht, dass sich ihre Grundsätze wie von selbst ergeben. Es bedarf langwieriger Arbeit, um sie in wünschenswerter Klarheit ans Licht zu ziehen. Die Forschungsmethode, die für diese Arbeit gewöhnlich genutzt wird, ist die analytisch-synthetische. Über den Wortsinn „analytisch-synthetisch“ gibt es keinen Konsens. Deshalb will ich eine kurze Erklärung geben.
Der Teilabschnitt „Synthese“ der analytisch-synthetischen Methode ist zu unterscheiden von der in Abschnitt A erwähnten „weltbildenden Synthesis“, steht aber in enger Verbindung mit ihr. Der Teilabschnitt „Analyse“ ist ein bewusst und gleichsam künstlich vom Menschen in Gang gesetzter Prozess, der einerseits die Gegenstände unserer Welt auf ihre Merkmale hin zerlegt: „Phänomenanalyse“, andererseits die weltbildende Synthesis bis auf ihre Ursprünge zurückverfolgt und ihre „Konstituentien“ (Wesensstrukturen) aufsucht: „Konstitutionsanalyse“. Die Konstitutionsanalyse geht aus von Weltgebilden, die durch die vorgängige und unbewusst aktive weltbildende Synthesis schon zustande gebracht wurden. Als ein Herauspräparieren der Wesensstruktur der Synthesis ist sie „gleichsam wider die natürliche Ordnung“ (J. H. Lambert). Sie ist das Hilfsmittel des Menschen, jene weltbildende Synthesis aufzuhellen, die vor aller Analyse schon stattfindet.
Die Konstituentien sind die Bedingungen, die die weltbildende Synthesis möglich machen. Die Konstutionsanalyse bemüht sich, diese Bedingungen herauszufinden. Die Bedingungen der Möglichkeit der weltbildenden Synthesis sind die Voraussetzungen für die Welthabe des Menschen. Sie dirigieren den Übergang vom Möglichen in das Wirkliche, überführen somit mögliche Welthabe in wirkliche. Sie setzen der Welthabe aber auch Grenzen. Diese Grenzen beschränken nicht nur für das menschliche Erleben schlechthin, sondern auch das Forschen des Theoretikers.
Der Vollzug der Konstitutionsanalyse ist immer mit Schwierigkeiten verbunden. Die Schwierigkeiten zeigen sich spätestens bei der Erarbeitung der „hypotheseis“ (I. Newton) einer Theorie, die eine Sache in ihren Wesenszügen beschreiben sollen. Deshalb kommt die sich zur Theorie vortastende Wissenschaft oft in Verlegenheit und auf Irrwege. Der für bestimmte Richtungen der Wissenschaft charakteristische Ausweg ist die Flucht in lebensfremde Abstraktionen und Formalismen. Die haben den Boden der Realität entweder ganz verlassen oder ihr Bezug zu den Sachen erscheint bloß als mögliche Zugabe, nicht aber als bedeutungsvolles oder gar notwendiges Kriterium für ihren Wert.
Die Konstitutionsanalyse ist das Kernstück jeder ambitionierten theoretischen Forschung. Sie bereitet den Boden, auf dem die „hypotheseis“ einer Theorie formuliert werden können. Diese sind dann der Ausgangspunkt für weitere Erkenntnis. Die Art und Weise, in der dieser Boden bereitet ist, entscheidet über den praktischen Wert einer Theorie. (Auf den Wert der hier zu entwickelnden Theorie für die Praxis ist im Hauptabschnitt C des hier vorliegenden Werkes einzugehen.) „Wir werden sehen, dass wir durch die Analyse…eine neue Einsicht, neue Kraft und die Möglichkeit erlangen werden, ganz neue …Probleme zu lösen, wenn wir nach unserer Rückkehr aufs neue vorwärts gehen.“
Unser Geist bewegt sich natürlich schon vor jeder Analyse in den durch die Analyse herauszuarbeitenden Formen. Sie können durch die analytische Forschung zwar ins Bewusstsein gehoben, nicht aber eigens geschaffen werden. Der Vorteil der vorgängigen Analyse für die Theorie ist, dass man ihree Grundbausteine in wünschenswerter Prägnanz an die Hand bekommt.
Ist die Kostitutionsanalyse vollzogen, dann kann eine neue, bewusst vollzogene sekundäre Synthese stattfinden. Die sekundäre Synthesis liefert begründetes Wissen. Es erwachsen daraus die „synthetischen Lehrgebäude“ (J. H. Lambert). Sie steht der ursprünglichen Synthese (der „weltbildenden Synthessis“) insofern nahe, als sie die gleichen „Bauteile“ verwendet wie jene. Sie unterscheidet sich aber in der Art des „Bauens“. Dies geschieht jetzt künstlich und ist in bewusstes Konstruieren.
Hat der Mensch via Konstitutionsanalyse den Mechanismus der Weltbildung (oder Teile davon) in seine Konstituentien zerlegt und ein Wissen darüber gewonnen, dann kann er - nach dem oben zitierten Satz Bertrand Russells - „aufs neue vorwärts gehen“. Die konstruktive Entstehungsart eines Sachbegriffs ist zwar wieder eine Synthese. Das ist aber ein neuartiger, rein theoretischer Vorgang, der wohl dieselben „Bausteine“ wie die ursprüngliche Synthese benutzt, der sich aber – anders als jene - mit vollem Bewusstsein abspielt. Der Weg der theoretischen (sekundären!) Synthese fängt an den Quellen an und rekonstruiert von hier aus den immer schon vorbewusst ablaufenden Prozess der Weltbildung bis hin zu den - dann in der Regel abstrakten - Weltgebilden. Weil das nunmehr mit Bewusstsein geschieht und im Idealfall mit einem logisch und systematisch strukturierten Endprodukt abschließt, kann begründetes Wissen entstehen. Dieses vermittelt Einsicht, anderes Wissen nur eine Außensicht. Begründetes Wissen ist reflektiertes Wissen.
Die Synthesis, die die abstrakte Welt der Theorie erschafft., ist also dieselbe, die auch die vortheoretische Lebenswelt in ihrer konkreten Fülle hervorbringt. Die Gründe, auf denen die Theorie beruht, sind zugleich die Gründe unserer Welthabe schlechthin - jeder nur möglichen. Der Fokus der Theoriebildung richtet sich dabei nicht so sehr auf das zu erforschende „Objekt“, sondern auf das erkennende Subjekt und dessen Wahrnehmungs- und Urteilsvermögen.
Damit wird die Frage nach der Evidenz theoretischer Aussagen in eine ganz andere Richtung gelenkt. Jedenfalls werden alle Versuche, die Evidenz auf dem Wege der „Anschauung“ oder „Intuition“ beizubringen, hinfällig. Die Evidenzfrage wird zur Frage nach der Nähe der Aussagen zu den Bedingungen der Möglichkeit weltbildender Synthesis. Damit ist das wahre Verstehen der Welt oder einer ihrer Teilaspekte von ihren Gründen aus und einschließlich der Gründe selbst gesichert. Es kann alles Mysteriöse und Dunkle - vor allem, was die Grundlagen der Theorie angeht - getilgt werden. Das ist bei der Formulierung von Aussagen mit Wahrheitsanspruch von nicht zu unterschätzendem Wert.
Jede Theorie, die bewusst und ausdrücklich auf den die Lebenswelt ermöglichenden Strukturen basiert, kann bedenkenlos den Anspruch erheben, dass sie kein bloß spekulatives Gebilde ist, sondern wahrhaft zu dieser Welt passt. Dass solches „Passen“ damit nicht notwendig gegeben ist, versteht sich von selbst, weil noch andere Faktoren die Ausgestaltung einer Theorie beeinflussen. Aber die Möglichkeit dazu ist nicht schon von vorneherein verbaut.
Das von uns gewöhnlich naiv vorgenommene Aussagen über die Welt, das von den Konstituentien der Weltbildung nichts weiß, kann seine Intention verfehlen, kann das „Außer-uns-Befindliche“ nicht richtig darstellen. „Im naiven Absehen und Tun kann sich die Zielung (Intentionalität) der Aussagen verschieben.“ In einer analytisch fundierten Theorie geht es nicht zuletzt darum, solche Verschiebungen zu entlarven und rückgängig zu machen. Das gilt auch und besonders für die Mathematik.
Es ist die eigentliche Aufgabe der analytisch-synthetischen Forschung, den Gesamtkomplex der Welt, d. h. die gesamte weltbildende Synthesis unseres Geistes in ihre einzelnen Bauteile zu zerlegen und sie in ihren verschiedenen spezifischen Zusammensetzungen rein darzustellen. Die im Folgenden darzustellenden Untersuchungsergebnisse geben nur einen kleinen Teil eines solchen Vorhabens wieder. Wir - meine Leser und ich - konzentrieren uns nur auf den quantitativen Aspekt der weltbildenden Synthesis, die Quantifikation. (Das Wort „Quantität“ verwende ich gemäß der ursprünglichen Bedeutung von quantum, das mit Wieviel und nicht mit Größe zu übersetzen ist.) Den quantitaiven Weltaspekt unserer Welt beschreibt die Arithmetik.
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Ausgestattet mit seinem analytischen Vermögen ist es dem Menschen möglich, die Komplexität seiner naturgegebenen weltbildenden Geistesleistung zu zerstören und das ihm konkret Gegebene (farbige, duftende, tönende, durch Kausalität, Quantität usw. bestimmte) Universum nur noch unter einem seiner Aspekte zu betrachten. Er kann darüber hinaus diesen einen Aspekt in seiner Reinheit und abgetrennt von allen anderen synthetisch hervorbringen. Das bedeutet für den hier zur Untersuchung stehenden Sachverhalt: Der Mensch kann den bei der Weltbildung beteiligten Vorgang der Quantifikation und deren Erzeugnisse losgelöst von allen übrigen Aspekten untersuchen. Er kann diesen Aspekt vergegenständlichen, hier Beobachtungen machen, Gesetze formulieren usw.
Eine Untersuchung der vorwissenschaftlichen quantitativen Phänomenalität bedeutet nicht, dass die Welthabe des Menschen Insgesamt und mit allen ihren Aspekten verhandelt werden muss - eine Aufgabe, die kaum auf einen Schlag hin zu bewältigen wäre. Es bedeutet aber, dass wir auf bestimmte Aspekte unserer vorwissenschaftlichen Welthabe zurückgehen müssen, um von ihnen aus jenen Entwurf menschlichen Geistes zu verstehen, den wir Arithmetik nennen. Gegenstand der Untersuchung ist also nur ein Teil der weltbildenden Synthesis, und zwar jener, den wir Quantifikation nennen.
In ihrer vor aller theoretischen Analyse gegebenen Naturwüchsigkeit ist die weltbildende Synthesis eine komplexe Leistung mit einer Fülle von Aspekten. Als eine solche wollen wir sie immer auch dann im Blick behalten, wenn wir nur den quantitativen Aspekt an ihr betrachten. Dieser Aspekt kommt letztlich erst im Gesamtzusammenhang analytisch-synthetischer Forschung voll zur Geltung.
Die Frage nach dem quantitativen Weltaspekt ist die Frage nach den Geistesleistungen, die ihn hervorbringen. Versuche, Mathematik – besonders Arithmetik – ausdrücklich aus den sie herausbildenden Geistesleistungen zu entwickeln, finden sich bei P. du Bois-Reymond, R. Dedekind, E. Husserl, H. Dingler, O. Hölder, M. Pasch u.a. Neuere Untersuchungen dieser Art stehen m. W. aus. Überhaupt hat sich im letzten Jahrhundert das Interesse der Mathematiker an der klassischen Arithmetik in dem Maße verringert, in dem die Grundlagenproblematik der Mengen- und Klassentheorie an Boden gewann.
Die Beantwortung der Frage nach einer phänomenadäquaten Arithmetik verlangt die Erforschung jener Geistesleistungen des Menschen, die schon vorarithmetisch den quantitativen Weltaspekt hervorbringen. Sie muss deshalb bei Sachverhalten ansetzen, die ihr Sein vor und außerhalb der Arithmetik haben und die die Gründe unserer wahrnehmungs- und vorstellungsmäßigen Welthabe überhaupt sind. Dies sei nun nicht so verstanden, als dass die Arithmetik von Wahrnehmung und Vorstellung abhängig wäre. Phänomenadäquate Arithmetik arbeitet aus dem ganzheitlichen Wahrnehmungs- und Vorstellungsprozess diejenigen Strukturen heraus, die diesen Aspekt schon vortheoretisch bestimmen.
„Génétique-ment, on ne peut nier que la pensée mathématique ait des attaches avec l'expérience perceptive...Mais il y a un moment critique où le rapport avec la perception est suspendu, et où la pensée mathématique commence à fonctionner selon son propre régime: à ce momentlà, la forme perceptive, qui crée entre les choses de même allure une parenté reconnaissable et qui nous permet de nous orienter dans la diversité du monde et de classer les choses selon leurs ressemblances, céde la place, de facon instantanée, discontinue, à une forme purement intelligible dont les signes ou les figures ne sont plus que des Supports inessentiels (Übersetzung in Anm. 26 des ausstehenden Fachbuches).
Für die Existenz vortheoretischer Quantifizierungen, die (normalerweise unbewusst) in das undifferenzierte Ganze unserer Wahrnehmungs- und Vorstellungleistungen eingebunden sind, gibt es eindeutige Belege. Um eine vorläufige Vorstellung solcher vortheoretischen Quantifizierung zu geben, sei auf einige Beispiele hingewiesen.
Auf unseren Autofahrten steuern wir, ausgehend von einem bestimmten Ort, gelegentlich auf verschiedenen Wegen dasselbe Ziel an. Danach befragt, auf welcher Strecke weniger Verkehrsampeln zu passieren waren, können wir eine mehr oder weniger genaue Antwort geben, auch wenn wir die Ampeln nie eigens gezählt haben. Unsere Wahrnehmung hat die ungefähre Menge der Ampeln registriert, und zwar ohne Beteiligung eines exakt arithmetisch verfahrenden Bewusstseins. Solches vorarithmetische Quantifizieren ist ungenau und liefert nur grobe Ergebnisse. Die sind aber hinreichend, um in der Praxis vernünftige Entscheidungen treffen zu können. Wenn wir beispielsweise unter Termindruck stehen, wählen wir einen vielleicht erheblich längeren Weg zum Ziel - weil dort weniger Ampeln stehen.
Ähnliches lässt sich beobachten bei der Ermittlung von Wahrscheinlichkeitswerten (i. Gs. zu den auf exakten Zählungen - Strichlisten - beruhenden Wahrscheinlichkeitswerten). Hier haben wir oft durchaus brauchbare Ergebnisse, ohne je eine Strichliste angefertigt zu haben. Unsere Einbildungskraft hat den quantitativen Aspekt der Ereignisse ganzheitlich miterfasst. Die Ergebnisse solchen Erfassens stehen uns für unsere Praxis hinreichend genau zur Verfügung, und zwar vor aller Arithmetik.
Die unbewusst ablaufenden vorarithmetischen Quantifizierungen sind durchgängig in unser ganzheitliches Erleben eingebaut. Sie erscheinen uns so selbstverständlich, dass es erst einer Besinnung oder eines ausdrücklichen Hinweises bedarf, um darauf aufmerksam zu werden. Es gibt offenbar so etwas wie ein quantifizierendes Fundamentalvermögen unseres Geistes, das unsere gesamte Welthabe mitbestimmt.
Jetzt und künftig baut der Mensch den quantitativen Aspekt seiner Welt mit dem ihm dafür zur Verfügung stehenden synthetischen Potential auf. Quantifikation - auch die explizit numerische - ist nicht möglich ohne dieses Potential. Die hier dargestellte Theorie ist in dem apriori gegebenen Potential der quantifizierenden Synthesis fundiert. Es ist daher zu erwarten, dass die in ihr formulierten Inhalte zu der Welt, passen in der sich menschliche Praxis abspielt.
Weil die Bedingungen der arithmetischen Gegenständlichkeit zugleich die Bedingungen des Erscheinens des quantitativen Weltaspekts sind, ist erklärlich, dass die in der Arithmetik gewonnenen Erkenntnisse in der Welt unseres Handelns zu gebrauchen sind. Und es erscheint nicht als Wunder, dass ein Tun, das nur aphairetisch gewonnene Daten verwendet, zu greifbaren praktischen Erfolgen führt. „Wiewohl die mathematischen Betrachtungen ideal sind, so mindert dies doch nichts an ihrem Nutzen, weil die wirklichen Dinge sich von ihren Regeln nicht entfernen können.“
Der Weg der Untersuchung besteht nun darin, von dem in Abschnitt A (wie im vorherigen Beitrag) skizzierten Ansatz aus die Quantifikation von allen anderen Geistesleistungen zu isolieren und gesondert zu vergegenständlichen. Nur wenn wir das komplexe Phänomen der quantitativen Welterfassung in seine Konstituentien zerlegt vor unser geistiges Auge geführt und es in seiner Reinheit, d. h. abgelöst von allen Mitgegebenheiten dargestellt haben, werden wir davon reden dürfen, Einsicht und damit eine wirkliche Überschau (theoria; s. o.) über den quantitativen Weltaspekt erlangt zu haben.
Wenn es gelingt - und dies ist die treibende Kraft aller in diese Richtung zielenden Untersuchungen (das Motiv Leibnizens, Lamberts, Kants, Husserls, Dinglers, Lorenzens, Russels und Anderer) - die Welthabe des Menschen analytisch in ihre Strukturen zu zerlegen, d. h. die Strukturen quantitativer „Gedenkbarkeit“ (J. H. Lambert) i. S. des überhaupt nur möglichen geistigen Erfassens von Quantität offenzulegen, dann sind damit auch die Gründe für alles nur mögliche Wissen und Erkennen von Quantität am Tage. Denn es gibt keine Denkgebilde außerhalb des für uns überhaupt nur „Gedenkbaren“.
Wenn es auch keinen Königsweg für den Aufbau einer Theorie gibt, so steht doch auch hier wie überall für den der Anwendung verpflichteten Theoretiker fest: Er darf nicht auf das bloße Erfinden von Theorie aus sein, sondern muss sie auffinden und zwar in dem, was schon ist. Das heißt - auf das hier Vorliegnde bezogen - er muss erforschen, was an quantitativer Welterfassung vorarithmetisch schon vorhanden ist. Gerade Mathematiker neigen dazu, Theorien schlichtweg zu erfinden. Phänomenadäquanz erfordert aber, Theorie aufzufinden, und zwar aufgrund von Beobachtung und Untersuchung des vortheoretisch schon Seienden.
Die folgende Darstellung meiner Untersuchungsergebnisse beginnt bei den realen Phänomenen, wendet sich dann tiefergehenden metatheoretischen Erörterungen zu und führt schließlich zu den Grundlagen der zu entwickelnden Theorie. Der erste Schritt dahin ist eine Umgrenzung des Gegenstandsfelds für die Analyse (wird in Abschnitte B 1 erfolgen). Dabei ergibt sich, dass dem tradierten Umgang mit Quanten ein Elementarschema zugrunde liegt. Die Analyse des Schemas (was zu Abschnitt B 2) führt zu den Wesensstrukturen der Quantifikation. Der Abschnitt B 3 widmet sich dem Erzeugnis der Quantifikation. Im Abschnitt B 4 werden die Voraussetzungen für die Vergegenständlichung dieses Erzeugnisses erörtert. Die Form der Vergegenständlichung ermöglicht eine formale Axiomatik und deren erste Ableitungen. Dabei kann gezeigt werden, dass man neben den bekannten arithmetischen Verknüpfungen weitere, bisher unbekannte herstellen kann (Abschnitt B 5). Aus den allgemeinen Gesetzen über arithmetische Verknüpfungen lässt sich die Mechanisierung des Umgangs mit Quanten entwickeln: die Zähl- und Rechenleistung (was in Abschnitt B 6 aufgezeigt wird).
Mehr werde ich darüber nicht verraten. Dies wird im Fachbuch, welches dieses Jahr noch erscheinen wird, ausführlich beschrieben. Aber es liegt natürlich noch viel Arbeit vor uns und ein äußerst kritisches Lektorat.