Il est possible de générer n'importe quel raisonnement logique. Qu'il soit cohérent, fini, circulaire, paradoxal voire même infini et bien d'autres encore. Du moins, en théorie. Cela peut se faire a partir de trois élément de base qui, couplés ensembles, suffisent a construire ces raisonnements logiques. Ces éléments sont :
- le néant
- une porte logique universelle qui a deux entrées et une sortie
- le fait de pouvoir brancher la sortie de la dite porte logique sur l'entrée de n'importe quelle porte. Y compris elle-même.
Le but de ce texte, est d'expliciter ceci et de poser des bases qui me serviront plus tard dans d'autres textes pour, moi-même, construire mes raisonnements. Et vous verrez, je l'espère, qu'in fine, nous choisissons nos croyances et nos connaissances bien que nous n'échapperons jamais au doute. Mais cela sera expliquer plus en détail dans d'autres textes. Je dois d'abord poser les bases de mon affirmation. Puis-je réllement construire tout raisonnement logique à partir des trois éléments que j'ai cité ?
Le néant
Premièrement, le néant. Le néant est ma seule certitude ! En effet, Descartes nous a appris a douter. Il a acquis, de par sa méthode, la certitude qu'il existait par le seul fait de douter. Il a fait une démonstration qui est discutée et qui est elle-même remise en question, donc sujette au doute. Ce que, moi je pense, c'est qu'à chaque fois que je produis un raisonnement, je peux douter de :
- la validité du raisonnement
- la validité des prédicats
- la validité de la conclusion
Le doute méthodique nous conduit donc a n'avoir aucune certitude. Si je pense en terme d'ensemble mathématique, l'ensemble de mes certitude est donc l'ensemble vide. Ce qu'on appelle le néant en philosophie. Je peux donc affirmer que ma seule certitude est le néant. Ce qui semble être un paradoxe. En effet, si ma certitude est le néant, ma certitude n'est plus vide, elle contient un élément qui est le néant. C'est un élément que je manipule car je l'ai nommé mais que je ne sais pas avec certitude. D'où l'apparent paradoxe ! Alors, que peut-on dire avec certitude du néant ? Les philosophes ont conclus que ce qui peut être dit avec certitude du néant, c'est rien. Donc le néant lui-même. Je m'exprime avec un langage pour essayer de vous communiquer ma pensée et le langage humain (et même mathématique), est limité. Donc vous pourriez m'objecter que j'ai dit des choses sur le néant et que je l'ai qualifié mais je suis obligé d'en parler pour vous communiquez une pensée. Mais, ce que nous devrions réellement faire à propos du néant, est ce que Wittgenstein nous conseillais de faire à la fin de son Tractatus : "Tout ce qui peut être dit peut être dit clairement, et sur ce dont on ne peut parler, il faut garder le silence." Je vais donc, à partir de maintenant, garder le silence sur le néant et me contenter de l'utiliser.
La porte logique universelle
Concernant une porte logique universelle, précisons ce que nous entendons par là. Il s'agit d'un porte logique permettant de générer toutes les autres quelques soient le nombre d'entrée et de sortie qu'elles ont. Or, une telle porte logique existe : La porte NAND. Elle a deux entrées et une sortie et sa table de vérité est la suivante :
Notons le néant 0
Notons la négation du néant 1
| Entrée 1 | Entrée 2 | Sortie |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Cette porte peut être considérée comme le logos des grecs, la "parole" qui permet d'exprimer la raison et qui en est indissociable. Nous considérons que la porte logique existe. Et ceci est le premier élément de pensée dont nous ne soyons pas certains que nous définissons. Nous ne pouvons pas parler du néant mais nous pouvons parler de la porte logique NAND puisque nous l'avons définie grâce à sa table de vérité. La porte NAND n'est donc pas une certitude mais une connaissance.
Le branchement des portes logiques universelles
En ne donnant aucune limite dans la manière dont nous branchons les entrées et les sorties d'une ou plusieurs portes logiques, nous pouvons créer toutes les autres portes logique dont la négation qui n'est jamais qu'un raisonnement parmi d'autres. Les portes logiques que nous pouvons générer sont celles qui n'ont aucune entrées, celles qui n'ont aucune sorties, celles à une seule entrée et une seule sortie, celles à 1 entrées et plusieurs sorties, celles à 2 entrées et une sortie, celles à 2 entrées et plusieurs sorties, celles à plusieurs entrées et 1 sortie et, finalement, celles a plusieurs entrées et plusieurs sorties.
Les portes qui n'ont pas d'entrée :
Je n'ai dessiner qu'une seule sortie sur ce dessin mais il pourrait n'y en avoir aucune (sortie), ou plusieurs. Puisqu'il n'y a pas d'entrée, c'est une porte qui ne dépend pas d'interactions externes pour fonctionner.
Les portes qui n'on pas de sortie :
Je n'ai dessiner qu'une seule entrée sur ce dessin mais il pourrait n'y en avoir aucune (entrée), ou plusieurs. Puisqu'il n'y a pas de sortie, c'est une porte qui ne produit pas d'influcence ni d'interatction externes sur les autres portes logiques.
L'identité
C'est une porte logique dont le résultat de sortie est le même que le résultat d'entrée. En électronique, ce serait juste un fil.
La négation
La négation est appelée porte NOT. On peut créer la négation à partir de la porte logique NAND en la cablant comme suit :
Voici donc ce qui reste de la table de vérité de la porte logique NAND :
| Entrée 1 | Entrée 2 | Sortie |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
En effet, les entrées 1 et 2 étant toujour les mêmes, nous constatons que la sortie est l'inverse de l'entrée. L'entrée 1 et 2 étant toujours indentique, on peut même simplifier la table de vérité comme suit :
| Entrée | Sortie |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
La négation n'est donc jamais qu'un cas particulier de la porte logique NAND.
Les portes AND et OR
Pour construire toutes les autres portes logique, j'aurai d'abord besoins d'introduire deux autres portes logiques à 2 entrées et 1 sortie. Je vais donc en premier lieu construire les portes logiques à 2 entrées et 1 sortie. En particulier la porte AND et la porte OR. Ce sont les deux portes qui me manquent pour pouvoir construire n'importe quelle table de vérité.
- Le portes logiques à 2 entrées et 1 sortie :
Notons d'abord que le couple d'entrée possible est toujours le même. Il s'agit de :
| Entrée 1 | Entrée 2 |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
| 1 | 1 |
Ce qui change, ce sont les sorties possibles ! Il y en a 16 différentes :
| Entrées : | 00 | 01 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|
| Sorties : | 0 | 0 | 0 | 0 |
| Sorties : | 0 | 0 | 0 | 0 |
| Sorties : | 0 | 0 | 0 | 1 |
| Sorties : | 0 | 0 | 1 | 0 |
| Sorties : | 0 | 0 | 1 | 1 |
| Sorties : | 0 | 1 | 0 | 0 |
| Sorties : | 0 | 1 | 0 | 1 |
| Sorties : | 0 | 1 | 1 | 0 |
| Sorties : | 0 | 1 | 1 | 1 |
| Sorties : | 1 | 0 | 0 | 0 |
| Sorties : | 1 | 0 | 0 | 1 |
| Sorties : | 1 | 0 | 1 | 0 |
| Sorties : | 1 | 0 | 1 | 1 |
| Sorties : | 1 | 1 | 0 | 0 |
| Sorties : | 1 | 1 | 0 | 1 |
| Sorties : | 1 | 1 | 1 | 0 |
| Sorties : | 1 | 1 | 1 | 1 |
La porte AND et la porte OR sont chacune l'une de ces 16 possibiltés.
La porte AND
La plus facile a construire est la porte AND. Sa table de vérité est :
| Entrée 1 | Entrée 2 | Sortie |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
C'est un NAND dont la sortie est branchée sur la négation. Notons que la sortie de la porte AND est toujours 0 sauf lorsque toutes les entrées sont 1.
La porte OR
La porte OR, elle, a cette table de vérité :
| Entrée 1 | Entrée 2 | Sortie |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
C'est NOT( NOT(Entrée 1) AND NOT(Entrée 2) ). Notons que la sortie de la porte AND est toujours 1 dès qu'une entrée au minimum est à 1.
Les autres portes logiques
Nous avons maintenant construit les seules portes dont nous avons besoins pour pouvoir générer n'importe quelle table de vérité. J'ai nommé la porte NOT, AND et OR. Le tout, n'a été généré qu'à partir de l'unique porte logique NAND. Démontrons maintenant que je peux effectivement générer n'importe quelle table de vérité à partir de ces 3 uniques portes logiques.
Pour cela, nous devons nous interroger sur ce qu'est une table de vérité. Une table de vérité est l'ensemble de toutes les combinaisons possibles d'entrées avec une sortie qui peut être différente pour chaque combinaison d'entrées possible. Tous les cas sont possibles sont donc couvert pour un nombre d'entrées déterminées. Chaque ligne de la table de vérité est une combinaison possible. Ce que nous allons faire, est d'isoler chacune des combinaisons qui ont comme sortie un 1 grâce aux portes NOT et AND et nous allons les réassembler grâce à la porte OR pour former la table de vérité finale auquelle nous souhaitons parvenir. Puisque nous pourrons générer n'importe qu'elle ligne possible et que nous pouvons réassembler n'importe quel nombre de lignes ensembles, nous pouvons donc générer n'importe quel table de vérité. Procédons.
Isoler une ligne de la table de vérité
Imaginons que nous ayons 3 entrées, pour ces trois entrées, il n'y a qu'une ligne dont la sortie soit 1 :
L'entrée 1 est 0, l'entrée 2 est 0 et l'entrée 3 est 1.
Nous souhaitons cabler des portes AND et NOT de facon a n'avoir un 1 en sortie que pour cette combinaison de valeurs en entrée et uniquement celle-là. C'est l'isolement. Pour ce faire nous utiliserons la propriété de la porte AND dont la sortie est un 1 uniquemment si toutes les entrées sont à 1. Et pour passer toutes les entrées à 1, nous allons utiliser la négation lorsque l'entrée que nous utilisons est à 0.
entrée 1 est à 0 -> NOT(entrée 1)
entrée 2 est à 0 -> NOT(entrée 2)
entrée 3 est à 1 -> entrée 3
Nous avons donc une combinaison d'entrée qui sont toutes à 1 et que nous pouvons liées grâce à la porte AND pour avoir l'unique cas pour lequel la porte AND est à 1 en sortie.
Sortie -> NOT(entrée 1) AND NOT(entrée 2) AND entrée 3
Nous avons donc un circuit logique dont la sortie est 1 uniquement pour la ligne que nous avons isoler. Si il y avait plusieurs ligne dont la sortie est 1, nous pouvons utiliser le même procédé et ainsi obtenir une ligne différente pour chaque combinaison des entrées qui produit une sortie à 1.
Réassembler les lignes en une table de vérité
Lorsque nous avons recréer toutes les lignes individuelles dont la sortie est 1. Nous pouvons les réassembler ensemble en une table de vérité grâce à la porte OR en utilisant la propriété qu'il faut qu'il y ait au moins un 1 pour que la sortie de la porte OR soit 1.
Si nous avons créés 3 lignes dont la sortie est 1 nommées : ligne 1, ligne 2 et ligne 3, nous pouvons écrire :
ligne 1 OR ligne 2 OR ligne 3
Nous obtiendrons ainsi une table de vérité dans laquelle seule les combinaisons des entrées de la ligne 1, ligne 2 et ligne 3 ont 1 en sortie. Toutes les autres lignes seront à 0.
Exemple
Essayons de recréer la table de vérité suivante :
| Entrée 1 | Entrée 2 | Entrée 3 | Sortie |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Nous devons isoler les 3 lignes dont la sortie est à 1:
| Entrée 1 | Entrée 2 | Entrée 3 | Sortie |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Nous pouvons donc écrire :
ligne 1 -> NOT(entrée 1) AND entrée 2 AND entrée 3
ligne 2 -> entrée 1 AND NOT(entrée 2) AND NOT(entrée 3)
ligne 3 -> entrée 1 AND entrée 2 AND entrée 3
Nous pouvons donc maintenant recréer la table de vérité en écrivant :
ligne 1 OR ligne 2 OR ligne 3
ce qui revient à écrire :
(NOT(entrée 1) AND entrée 2 AND entrée 3) OR (entrée 1 AND NOT(entrée 2) AND NOT(entrée 3)) OR (entrée 1 AND entrée 2 AND entrée 3)
Ceci est donc un des circuits logiques qu'il est possible d'écrire qui a pour table de vérité celle que nous essayons de reconstituer. Notons que :
- le circuit n'utilise que des AND, OR et NOT
- une ligne peut toujours être reconstituée avec uniquement des AND et des NOT
- une table de vérité peut toujours être reconstituée avec des OR
Et ceci, quelque soit la table de vérité.
Les types de raisonnements
J'aimerais maintenant toucher un mot au sujet des différents types de raisonnements possibles sans toutefois prétendre à l'exhausitivité.
Les raisonnements cohérents finis
Les raisonnements cohérents finis sont les raisonnement qui peuvent être représenté dans une table de vérité finie. Nous avons déja vu que nous pouvions les recréer grâce à notre méthode avec les portes logiques AND, OR et NOT. Rappelons au passage que ces trois portes logiques ont toutes été créées à partir de la porte logique NAND.
Les raisonnements circulaires
Les raisonnements circulaires n'ont pas de fin car leur sortie est utilisée en entrée du dit raisonnement. En produisant le raisonnement, si nous ne nous rendons pas compte qu'il y a une circularité, nous pouvons donc mener le raisonnement sans fin. Cela, à mon sens, permet de créer la notion que quelque chose puisse n'avoir ni début, ni fin. Dans les raisonnement circulaire, nous pouvons distinguer ceux qui sont cohérents de ceux qui sont absurdes.
Les paradoxes
Les paradoxes sont des raisonnements circulaires incohérents. Nous les disons absurdes. Le paradoxe le plus simple peut être obtenu avec l'unique porte NOT.
Nous pouvons constater que, puisque la négation inverse l'entrée en sortie, le raisonnement diverge. C'est à cause de cette divergence que nous disons que le raisonnement est absurde car la sortie du raisonnement influence son entrée de telle manière à ce que la sortie ne soit plus la même qu'auparavant.
Les raisonnements circulaires cohérents
Un exemple de raisonnement circulaire cohérent peut lui aussi être donné en n'utilisant que des portes NOT. Dans notre exemple particulier, il s'agira d'un raisonnement qui produit le même résultat que l'identité.
Dans ce cas-ci, l'entrée dépend aussi du résultat de la sortie mais le raisonnement converge. C'est grâce à cette convergence que nous disons que le raisonnement est cohérent. C'est-à dire que la sortie atteint une valeur qui est celle qui était utilisé en entrée au départ du raisonnement et qui donc, ne change pas la valeur de la sortie bien que celle-ci soit utilisée comme entrée.
Les raisonnements infinis
Nous avons vu précédemment avec les raisonnements circulaires que nous pouvions imaginer des raisonnements qui n'ont ni début ni fin en faisant boucler le raisonnement. Nous pouvons aussi alors imaginer qu'il est possible que les choses n'aie ni début ni fin mais de manière séquentielle au lieu de circulaire. C'est ce que nous nommons les raisonnements infinis. A nouveau, nous pouvons en mener un grâce a uniquement des portes NOT. La manière de procédé est de prendre une porte logique et de dire que je peux la lier à n'importe quelle autre porte logique. Et je vais répéter cette procédure et ce, sans me conférer de limite quand au nombre de portes logiques que j'utilise. Je peux donc lié une infinité de porte logique entre elles en théorie. En pratique, évidemment, cela n'est pas possible. Il y a donc une différence entre les raisonnements en puissance et en acte de la même manière qu'il y a une différence entre l'infinité en puissance et en acte.
Les autres types de raisonnements
Il y a d'autres types de raisonnements dont, entre autre, les raisonnements qui n'ont pas de sens. Par exemple, un raisonnement qui doit respecter une grammaire et qui ne la respecte pas. Il n'y a donc pas moyen de comprendre le raisonnement et il n'est donc ni cohérent ni circulaire (absurde ou cohérent), ni infini. On pourrait sans doute en construire d'autres mais tel n'est pas l'objectif de ce texte. Le but étant avant tout de poser les bases de la logique ainsi que de celles de la construction de raisonnements.
Conclusion
Nous avons vu qu'il était possible de générer plusieurs types de raisonnements allant de raissonnements finis cohérents aux raisonnements infinis en passant par les paradoxes qui ne sont que des types de raisonnements parmi d'autres. Nous avons aussi vu qu'il était possible de le faire en ne partant que de 3 éléments. Le néant, dont on ne peut pas parler comme nous l'a appris Wittgenstein, la porte logique universelle NAND qui sont les briques de nos raisonnements, et la manière de chainer les portes logiques en raisonnements logiques plus complexes. Pour chainer ces portes logiques, nous ne nous sommes mis aucune limite. Nous avons aussi déterminé que notre unique certitude était le néant et la porte NAND notre première connaissance. nous avons construit d'autres connaissances, pour le moment d'autres portes logiques grâce à notre certitude, notre connaissance et notre capacité à chainer nos connaissances. Nous verrons plus tard ce que cela implique au niveau de la construction des connaissances qui sont accessibles à un humain et nous insisterons sur la distinction entre certitude absolue et degré de certitude. Globalement, nous montrerons que la seule cetitude absolue reste le néant et que, pour tout le reste, il y aura toujours un doute résiduel. Il pourra parfois être très faible mais le doute persistera. Ceci sera l'objet d'un texte ultérieur.