Bevor wir eine Basis eines Vektorraumes bestimmen benötigen wir die Definition eines Erzeugendensystem.
Eine Teilmenge B aus einem Vektorraum V heißt Erzeugendensystem, wenn die lineare Hülle aus dieser Teilmenge B wieder den gesamten Vektorraum V ergibt.
Anders gesagt, man kann mit allen Vektoren aus dieser endlichen linearen Hülle alle Vektoren aus dem Vektorraum V durch z.B. Vektoraddition oder Skalarmultiplikation erzeugen.
Es muss gezeigt werden, dass eine Teilmenge an Vektoren alle anderen Vektoren erzeugen können. Zugleich muss diese Teilmenge auch linear unabhängig sein.
Eine Basis eines Vektorraumes ist somit ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
Machen wir mal ein Beispiel. Zuerst zeigt man, dass die lineare Hülle eine Teilmenge aus R hoch 3 ist. Dann folgt der etwas schwierigere Teil.
Man nimmt einen beliebigen Vektor aus R hoch 3 und stellt diesen Vektor mit der Linearkombination der linearen Hülle gleich.
Daraus entsteht ein lineares Gleichungssystem, welches wir nach den Koeffizienten auflösen.
Anschließend prüft man, ob die lineare Hülle auch linear unabhängig ist. Dafür setzt man einfach für x,y und z den Wert 0 ein. Werden alle Koeffizienten, hier lambda, zu 0, dann ist die lineare Hülle auch linear unabhängig. Somit haben wir eine Basis.
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