Eine Gruppe G ist eine Menge auf der bestimmte Verknüpfungen angewendet werden. Man notiert dies meist als (G,*), wobei G die Gruppe ist und * (Stern) die Verknüpfung. Diese Verknüpfungen müssen bestimmte Axiome, also Bedingungen erfüllen.
Als Beispiel kann eine Gruppe die natürlichen Zahlen sein, oder die rationalen Zahlen ohne 0. Eine Verknüpfung sind vereinfacht gesagt Rechenoperationen die auf diese Gruppe angewendet wird. Dies muss anhand der Axiome gezeigt werden. Werden alle Axiome erüllt, so handelt es sich um eine Gruppe. Im Umkehrschluss, wird mindestens ein Axiom verletzt, so handelt es sich um keine Gruppe.
Es müssen folgende Axiome gezeigt werden, um zu beweisen dass es sich in einem konkreten Beispiel um eine Gruppe handelt (oder eben nicht).
- Assoziativität
- Existenz eines neutralen Element
- Existenz eines inversen Element
Wird außerdem das Axiom der Kommutativität erfüllt, handelt es sich um eine Abelsche Gruppe.
Machen wir mal zwei Beispiele. Im ersten Beispiel soll die Gruppe die rationalen Zahlen ohne 0 sein mit der Verknüpfung der Multiplikation. Wir definieren uns alles was wir benötigen, um die Axiome zu zeigen. Mal sehen ob es sich um eine (Abelsche) Gruppe handelt.
Die Gruppe im zweiten Beispiel ist die Gruppe die ganzen Zahlen und die Verknüpfung die Multiplikation. Das ist doch bestimmt auch eine Gruppe. Schauen wir mal.
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