Rozwiążmy matematyczny problem.
Photo is free for commercial use from pixabay.com
Losujemy jedną liczbę z odcinka [0, 1]. Rozkład prawdopodobieństwa jest „na chłopski rozum”, czyli jednostajny – prawdopodobieństwo trafienia w dany przedział zależy tylko od jego długości, żaden punkt nie jest wyróżniony, czyli np. prawdopodobieństwo przedziału [1/3, 2/3] to 1/3.. Jaka jest średnia wartość wylosowanej liczby?
Zdrowy rozsądek sugeruje, że ½, i tak jest w istocie. Ale jak to uzasadnić?
Zwróćmy uwagę, że „jeden przez dwa” to to samo co „jeden do potęgi drugiej przez dwa”. A „jeden do potęgi drugiej przez dwa” to to samo, co „jeden do potęgi drugiej przez dwa minus zero do potęgi drugiej przez dwa”. A „ jeden do potęgi drugiej przez dwa minus zero do potęgi drugiej przez dwa” to to samo, co całka z „x razy dx” po przedziale [0, 1].
Przypadek? Zmieńcie przedział na inny i sprawdźcie, czy ta całka nadal będzie równa środkowi przedziału, co jest zgodne z oczekiwanym średnim wynikiem losowania.
Ale idźmy dalej. Całkować funkcję f(x)=x po przedziale [0, 1], to to samo, co całkować po całej prostej rzeczywistej funkcję, która na przedziale [0, 1] jest równa x, a poza tym przedziałem równa 0. Kolejna obserwacja jest taka, że „x” to to samo, co „x razy 1”, zaś „0”, to to samo co „x razy 0”. Zatem tak naprawdę całkujemy po całej prostej rzeczywistej funkcję x razy g(x), gdzie g(x) jest równa 1 na przedziale [0, 1] i równa 0 poza tym przedziałem.
A więc każdy probabilista powie, że tak naprawdę policzyliśmy wartość oczekiwaną zmiennej losowej o gęstości prawdopodobieństwa g(x), takiej jak powyżej.
Dlaczego zrobiłem taki wywód, zamiast od początku podawać Wam wzór? Po to, żebyście zauważyli, że ten wzór nie jest „z księżyca”, tylko ma intuicyjny, zdroworozsądkowy sens.
Wartość oczekiwana zmiennej X oznaczać będziemy E(X).
Idźmy dalej.
Wylosujmy nie jeden punkt, ale dwa, z tego samego przedziału i rozkładu. Jaka jest średnia wartość środka przedziału utworzonego z dwójki wylosowanych liczb.
Na pierwszy rzut oka to pytanie dużo trudniejsze, bo nawet nie wiadomo, która liczba będzie większa a która mniejsza.
Zacznijmy od wzoru na środek przedziału. Jeśli pierwsza liczba jest mniejsza – x1, zaś druga większa – x2, to środek przedziału [x1, x2] to (x1 plus x2) przez dwa. Jeśli druga liczba jest mniejsza a pierwsza większa, to środek przedziału [x2, x1] to (x2 plus x1) przez dwa. Dodawanie jest przemienne, więc to… też (x1 plus x2) przez dwa. Zatem okazało się, że to pozorne utrudnienie tak naprawdę jest do obejścia. Oznaczmy ten środek przez X.
I obliczmy wartość oczekiwaną.
E(X)=E((X1+X2)/2)=(E(X1)+E(X2))/2=...
A wartości oczekiwane X1 i X2 już znamy!
...=(1/2+1/2)/2=1/2 !!!
Zatem wartość oczekiwana środka tego przedziału to także ½.
Zwróćcie uwagę, że dokładnie ten sam wynik uzyskacie, jeśli scałkujecie funkcję (x1+x2)/2 po dwuwymiarowym zbiorze [0, 1] x [0, 1]!
No dobrze, to na koniec zadanie dla Was.
Losujemy dwie liczby ze zbioru [0, 1]. Pierwsza liczba jest losowana z rozkładu jednostajnego na [0, 1], a druga liczba z rozkładu jednostajnego na [x1, 1] (czyli w skrócie: druga liczba musi być większa od pierwszej). Jaka jest średnia wartość środka przedziału [x1, x2]?
Dla pierwszej osoby, która udzieli poprawnej odpowiedzi, przewidziałem nagrodę 3 HIVE.