Saludos a todos, bienvenidos a esta nueva publicación. Si existe un procedimiento que representa un reto desde el punto de vista técnico y abstracto en la práctica de la Geometría Descriptiva es el de la perpendicular común. Desde el punto de vista técnico, requiere de la aplicación de varios procedimientos a la vez (determinación de planos, interceptar rectas con planos y trazar rectas nuevas), esto supone una gran cantidad de líneas de construcción en el dibujo si se realiza mediante lápiz y papel. Por otro lado, entra en juego la comprensión espacial para entender el porque de cada línea trazada y su ubicación en el espacio, lo cual es igual o más importante que lograr llegar al resultado final.
Utilizaré el programa SketchUp para brindar al lector una vista tridimensional del problema, mostrando así mediante esta herramienta computacional los procedimientos para llegar a la solución utilizando los conocimientos y herramientas de la Geometría Descriptiva en conjunto con los recursos computacionales que nos brinda este programa.
Primero debemos entender que es una perpendicular común. Esta es una recta que se corta con otras dos bajo un ángulo recto. Es decir, entre dos rectas cualquiera siempre existirá una perpendicular común.
Si dos rectas se cortan en determinado punto, pues la perpendicular común es una recta que parte de dicho punto de corte de manera perpendicular a ambas (o al plano que ambas forman). Si dos rectas son paralelas, su perpendicular común será una recta coplanaria a estas que se corta con ambas a 90°. Fácil ¿verdad? Pero cuando tenemos dos rectas con direcciones arbitrarias que se cruzan en el espacio, la situación es diferente. Puede incluso parecer extraño que dos rectas aleatorias tengan una perpendicular común que se corta a 90° con ambas, pero la realidad es que si existe y ahora entenderemos cómo podemos obtener esta recta mediante el programa SketchUp.
Uso del programa SketchUp
A diferencia de las publicaciones anteriores, donde se muestran vistas del problema en doble proyección ortogonal, en la presente solo mostraré el procedimiento de manera tridimensional en el programa SketchUp, ya que los procedimientos a realizar no introducen nada nuevo de lo que ya he abordado en artículos anteriores sobre Geometría Descriptiva y cobra mayor importancia entender por qué se realiza cada uno de estos procedimientos, adquirir un punto de vista global del problema y utilizar el ingenio para resolver problemas.
Nos apoyaremos en el programa SketchUp para crear dos rectas arbitrarias en el espacio que no se cortan entre sí. Similar a la anterior publicación sobre la visibilidad de objetos en tres dimensiones. crearemos primero dos superficies (planos horizontal y frontal) para así guiarnos en el espacio cuando creemos las rectas.
Posteriormente desactivaremos la visualización de los ejes principales de referencia (ejes rojo, verde y azul) (Ver->Ejes). Esto nos brinda una vista más despejada. Ahora podemos crear dos rectas arbitrarias en el espacio mediante la herramienta Línea. Ambas tendrán un color diferente (azul y rojo). Denominaremos a la recta azul “a” y “b” a la recta roja.
Podemos observar que dichas rectas no se cortan en ningún punto. Ahora, podemos empezar a emplear los procedimientos de la Geometría Descriptiva. Esto se realizará según la metodología dada por Osers et al. (2012) en su libro “Estudio de Geometría Descriptiva” la cual sigue los siguientes pasos.
Escogeremos un punto arbitrario sobre la recta “a”.
Podemos observar que producto de dos rectas que se cortan (a y b’) se genera el plano “ab’” el cual llamaremos “α” y le hemos colocado un color azul con transparencia para evidenciar las demás líneas que se encuentran detrás.
Para trazar una recta paralela a otra mediante SketchUp, tenemos dos opciones. Mediante la herramienta Línea se remarca la línea de interés (b), y luego se traza por el punto de interés (A) una línea aproximadamente paralela, el programa reconocerá la dirección de la línea anterior y la colocará provisionalmente en color morado, así sabremos que estamos trazando una línea paralela a la primera, pero es indispensable remarcar primero la línea de interés. La otra opción es copiar la primera línea y pegarla en un punto específico conservando su longitud y dirección, esto se logra mediante la herramienta Mover manteniendo presionada la tecla Ctrl para activar la opción de copiar. La recta “b’” se le ha asignado un color morado.
De manera similar al paso 1), se selecciona un punto arbitrario de la recta “b”.
Para trazar una recta perpendicular a un plano en el programa SketchUp tendremos que valernos de nuestro ingenio, ya que no hay forma directa de hacerlo.
Una solución a esto sería volver a activar la visualización de los ejes de referencia rojo, verde y azul (Ver->Ejes). Podremos ver que dichos ejes están alineados con los planos de proyección creados previamente y lo que haremos será alinear estos ejes de referencia con el plano “α” (ab’), de manera que uno de los ejes será perpendicular a dicho plano. La función de estos tres ejes de referencia es darnos la posibilidad de alinear las líneas que creemos a los mismos de manera automática y establecer un sistema de coordenadas espacial. Esto se realiza mediante la herramienta Ejes, nos situaremos en cualquier punto sobre el plano “α” y alineamos dos de los ejes con su superficie. Una vez realizado esto veremos el sistema de coordenadas modificado como en la siguiente imagen.
Para crear una línea perpendicular al plano “α” trazaremos una línea por el punto “B” que se alinee con el eje de referencia azul, al trazar la línea aproximadamente en esta dirección el programa automáticamente nos muestra la línea en color azul, indicando que se alinea con dicho eje. La recta “p” (que es perpendicular al plano “α”) la representaremos en color rosado.
Volveremos a desactivar la visualización de los ejes de referencia para tener una vista más despejada. Las rectas “b” y “p” generan un plano adicional, por lo que uniendo los extremos de ambas rectas nos basta para crear una superficie, la cual le asignaremos un color rojo transparente (plano bp o “β”).
Si seguimos la recta “a” mediante la herramienta Línea podremos ver que en algún punto mostrará una “x” de color rojo indicando el punto de intersección con el plano “β”, este será el punto “X”.
Solo nos queda trazar una recta paralela a la recta “p”. Esta recta es la perpendicular común y se cortará tanto con la recta “a” (en el punto “X”) como con la recta “b” bajo un ángulo recto.
Si eliminamos todas las líneas de construcción y los planos de proyección, podremos ver que efectivamente tenemos una línea que corta otras dos bajo un ángulo de 90°.
Obteniendo un punto de vista global del problema…
Si contamos el punto “Y” como la intercepción entre las rectas “b” y la perpendicular común, tal como señalan Osers et al. existe un prisma rectangular recto, el cual se puede generar a través de los puntos “X”, “Y”, “B” y “A”. Quizás de esta manera se vea con mayor claridad que fue lo que se hizo a través de todos los procedimientos anteriores.
De esta manera observamos que el problema se centra en hallar dos puntos cualesquiera “A” y “B” de ambas rectas y generar a partir de estos un prisma mediante la creación de rectas y planos adicionales en donde una de las aristas del prisma es la solución buscada. Igual o más importante que la solución, el entendimiento del proceso para llegar a la misma es lo que define el desarrollo de la comprensión espacial. Aquí vemos como empleamos ciertos procedimientos base de la geometría descriptiva (recta paralela a otra recta, recta perpendicular a un plano, intercepción de recta con plano, etc.) para llegar a una solución dada. Ahora, al llevar todo esto al plano mediante lápiz y papel (doble proyección ortogonal), se verá que se tiene una noción más clara de lo que se está haciendo si se entiende lo que está sucediendo en el espacio con cada procedimiento empleado.
Aportes de esta publicación
Se brinda un enfoque único a un procedimiento el cual representa un reto en el estudio de la Geometría Descriptiva para los estudiantes. Se logra representar a través del programa SketchUp los procedimientos empleados para llegar a la solución dejando en evidencia el porqué de cada elemento nuevo generado (recta o plano), dándole la importancia debida al entendimiento del camino para llegar a la solución y proporcionando un punto de vista global del problema para su mejor análisis y comprensión.
Referencias Bibliográficas
•Osers et al (2012). Estudio de Geometría Descriptiva (14va Edición). Editorial Torino. Caracas. (P. 87).Fuente para consulta (doceava edición)
Material recomendado
•Di Pietro, Donato (1985). Geometría Descriptiva. Editorial Alsina. Buenos Aires.
•Izquierdo Asensi, F (1957). Geometría Descriptiva. Editorial Paraninfo. Madrid.
Imágenes de autoría propia, realizadas mediante el programa SketchUp 8 y posteriormente editadas con Microsoft PowerPoint.
Publicado mediante STEM.OpenHIVE
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Ing. Angel Contreras