¡Saludos y bienvenidos a esta publicación! Como he mencionado en distintas ocasiones en el pasado, la asignatura “Estática Aplicada” posee pocas fuentes de referencia que los estudiantes puedan utilizar para internalizar satisfactoriamente la teoría y procedimientos que se emplean. Por mencionar algunos de los temas poco comunes que se estudian en esta asignatura se encuentran: estudio de la estabilidad mediante los teoremas de los polos, análisis por movimiento infinitésimo, diagramas cartesianos de desplazamiento, cálculo de reacciones por trabajo virtual (menos común que el cálculo de desplazamientos por trabajo virtual), etc.
Cuando se entra en el tema del cálculo de reacciones se empiezan a ver conceptos familiares de física básica (fuerzas, momentos, equilibrio, etc.), y entran en juego las ecuaciones del equilibrio estático, ampliamente abordadas en la bibliografía existente. Esta es seguramente el área más conocida del estudio de la estática: el equilibrio de sistemas.
En las últimas dos publicaciones abordé las ecuaciones de equilibrio estático (y algunas aplicaciones en la Ingeniería Civil) y las ecuaciones de condición. Ambas publicaciones realizan un abordaje teórico-práctico del equilibrio de fuerzas de sistemas isostáticos para el cálculo de sus reacciones externas.
•Las Ecuaciones de Equilibrio Estático y algunas aplicaciones en la Ingeniería Civil
•Abordaje sobre las Ecuaciones de Condición en Sistemas Isostáticos
A través de la presente publicación compartiré por medio de una metodología con la cual se pueden calcular las reacciones externas de sistemas isostáticos de relativa complejidad con mayor efectividad, tomando como referencia las consideraciones teórico-prácticas dadas en estos últimos dos artículos, con el objetivo de aportar contenido dentro del ámbito académico útil para los estudiantes.
Introducción
Las tres ecuaciones del equilibrio estático son ampliamente utilizadas y conocidas en el ámbito ingenieril. Las ecuaciones de condición nos ayudan a hallar las reacciones externas en sistemas isostáticos cuando se tienen dos o más chapas ya que el número de reacciones externas (incógnitas) es mayor a tres (las tres ecuaciones generales del equilibrio estático).
Si bien existen amplias fuentes y libros al respecto, el cálculo de reacciones externas en los sistemas isostáticos de cierta complejidad (los que en el ámbito académico se llamarían “ejercicios tipo parcial” donde existe un arreglo sofisticado de chapas (cuerpos rígidos) y vinculaciones) quizás no es abordado con suficiente profundidad o detalle en la bibliografía disponible como para garantizar una resolución satisfactoria de todas las incógnitas externas por parte de los estudiantes (práctica fundamental de la Estática Aplicada y base para cualquier asignatura relacionada con el Análisis Estructural). Tampoco existe una metodología establecida o manera de abordar un sistema isostático compuesto por varias chapas para lograr encontrar todas sus reacciones externas de la manera más efectiva.
Durante mis estudios, serví como preparador académico de la asignatura “Estática Aplicada”, mi trabajo consistía en dedicar algunas horas adicionales (además de las clases) en la semana para brindar asesoría sobre esta asignatura a los estudiantes. Uno de los mayores problemas a la hora de abordar los ejercicios de Estática por parte de los estudiantes era el cálculo de las reacciones externas, puesto que este es el paso inicial en la resolución de sistemas isostáticos y el tiempo dedicado a este paso es esencial. Los errores y prácticas no recomendadas en el cálculo de reacciones no solo incidían en el rendimiento académico de los estudiantes en esta asignatura sino también en las asignaturas siguientes del pensum académico relacionadas a la Estática y la Ingeniería Estructural. Es por ello que compartiré a través de esta plataforma una metodología para el cálculo de incógnitas estáticas que conduzca a una resolución satisfactoria de las mismas.
Objetivos
Crear una metodología efectiva para el cálculo de las incógnitas externas de sistemas isostáticos compuestos por varias chapas y sometidos a un sistema de cargas.
Además, podemos sumar los siguientes objetivos específicos:
Metodología para el cálculo de reacciones externas
La siguiente metodología se plantea para logar el cálculo de todas las reacciones externas de sistemas isostáticos de manera efectiva, empleando el menor número posible de pasos, y un eficiente uso de las ecuaciones de condición sobre los vínculos internos, evitando en lo posible el planteamiento de sistemas de ecuaciones. Para mostrar el procedimiento de esta metodología se calcularán las reacciones externas del sistema isostático mostrado en la Fig. N°1.
Si bien este sistema fue inventado por mi persona y posee ciertos “atajos” creados intencionalmente, a la vista del estudiante que es nuevo en esta área este sistema puede parecer un verdadero reto. Sin embargo, este ejemplo posee un nivel de dificultad más que suficiente para implementarse en un examen parcial y la idea es que el estudiante sea capaz de identificar rápidamente estos “atajos” o, dicho de otra forma, saber abordar el ejercicio.
Saber abordar el problema en el estudio de la Ingeniería es igual de importante o incluso más que llegar al resultado final. Es como un proceso de “adentro hacia afuera”. La ejecución de los cálculos solo debe hacerse una vez se tiene identificado por completo el camino para llegar a la solución. Es primero analizar el ejercicio, plantear una serie de pasos (la solución), y si comprobamos que esta solución es satisfactoria, se ejecuta la misma. Empezar a ejecutar los cálculos sin tener un camino claro no es una práctica muy efectiva.
La metodología consiste de cinco (5) pasos, los primeros tres son simples, el foco de atención se da en el paso N°4, el cual es el que estructura lo que será la solución (sin realizar cálculos). El último paso es el que se encarga de ejecutar la solución planteada (realizar cálculos).
Este es un simple proceso de comprobación para verificar que el sistema sea isostático. En caso de obtener grados de libertad negativos (o que el sistema resulta ser hiperestático), el uso de las tres ecuaciones de equilibrio estático y de las ecuaciones de condición no será suficiente para hallar todas las incógnitas estáticas, quizás se puedan hallar solo algunas. Si el sistema es un mecanismo con grados de libertad positivos, no estamos en la presencia de un sistema isostático, sino un sistema inestable que ante la acción de cargas externas es susceptible de presentar movimiento (no existe equilibrio estático).
Utilizaremos la siguiente ecuación para verificar que GL=0, extraída de Rodríguez (2003) en su publicación “Estática de las Estructuras” y además en este artículo podemos encontrar un abordaje algebraico de la misma.
En el sistema mostrado existen cinco (5) chapas o cuerpos rígidos (n=1), y el número de unidades de vinculación externas e internas son VEXT=7 (dos en “A”, dos en “G” y tres en “D”) y VINT=8 (dos en “B”, dos en “E” y cuatro en “C”) respectivamente. Obteniendo así:
Existen otras ecuaciones o métodos para verificar que el sistema es isostático o estáticamente determinado, se puede usar cualquiera que verifique que el número de incógnitas estáticas igual al número de ecuaciones disponibles.
El número de reacciones externas a calcular viene representado por “VEXT”, y se debe identificar en la imagen del sistema las reacciones que cada vínculo externo aporta. Seguidamente, se crea un cuadro ordenando cada una de las reacciones según su dirección de aplicación, es decir, agruparemos todas las reacciones horizontales en una fila, lo mismo con las reacciones verticales y los momentos (Fig. N°2). En el caso de encontrar un apoyo simple en dirección inclinada (ver Fig. N°9), el cual proporciona una reacción externa en dirección diagonal, sus componentes horizontal y vertical aparecerán en su fila o “grupo” respectivo.
Esto se calcula mediante la siguiente expresión, dada por Rodríguez (2003) en su publicación “Estática de las Estructuras”:
En donde el número total de reacciones externas se le resta el número de ecuaciones fundamentales de equilibrio estático (tres). El término “N° Incógnitas” es equivalente a “VEXT”. De esta manera obtenemos:
Este es el número de ecuaciones de condición que necesitaremos plantear (además de las tres ecuaciones de equilibrio estático) para encontrar todas las incógnitas estáticas que nos interesan (las reacciones externas). Podemos inferir entonces que el número de “pasos” o “planteamientos” que vamos a realizar será igual o mayor al número de incógnitas (VEXT). Debemos procurar realizar el número mínimo de pasos, por lo que el objetivo es calcular “n” reacciones externas mediante “n” pasos.
Este es el paso más importante y es donde se debe concentrar todo el esfuerzo mental ya que los demás pasos son meramente mecánicos, puesto que lo ideal antes de resolver todo problema es analizarlo, proponer una solución y luego de todo esto realizar los cálculos. Empezar a realizar cálculos en primera instancia sin antes analizar el sistema podría conducir a tomar un camino innecesariamente largo o a pérdidas de tiempo debido a errores.
Existen prácticas no recomendables como, por ejemplo, empezar planteando sumatorias de fuerzas generales para todo el sistema en ambas direcciones horizontal y vertical, obteniendo así un par de ecuaciones con un gran número de incógnitas. Quizás con una sumatoria de momentos en algún punto se obtenga otra ecuación, pero si el sistema posee más de tres incógnitas externas necesitaríamos más ecuaciones adicionales y el planteamiento algebraico se vuelve muy largo y poco práctico. No es lo ideal plantear ecuaciones arbitrariamente, es como saber a dónde se quiere llegar (el cálculo de todas las reacciones externas), pero sin saber cómo (la metodología).
Tal como mencioné en el artículo anterior, el planteamiento de sistemas de ecuaciones sin tomar en cuenta el factor algebraico de las ecuaciones de condición puede llevarnos a tomar alguna ecuación no independiente y obtener un sistema de ecuaciones incompatible o que no se puede resolver, llevando a la pérdida de tiempo. Se debe evitar en lo posible plantear sistemas de ecuaciones y a menos que sea la única opción plantearlas con un máximo de dos o incluso tres incógnitas en algunos casos. Esto también favorece al estudiante, ya que las calculadoras científicas convencionales permiten resolver sistemas de hasta tres ecuaciones con tres incógnitas. En el artículo anterior se observaron casos usuales y simples en los que plantear un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es la única solución.
En este sentido, lo ideal es procurar plantear pasos en los que mediante solo una ecuación se despeje una sola incógnita. Y si esto no es posible, plantear un sistema de máximo tres incógnitas.
El análisis del sistema debe empezar de adentro hacia afuera, utilizando primero las ecuaciones de condición proporcionadas por los vínculos internos. Si aún no se posee la práctica suficiente y no resulta tan evidente como aplicar las ecuaciones de condición, se pueden realizar cortes en cada vínculo interno del sistema y analizar los subsistemas creados con cada corte para observar que reacciones externas en estos se pueden calcular de manera directa y mediante una sola operación a realizar. Realizar un “corte” en un vínculo interno implica conocer de antemano cuáles son las reacciones internas que existen en dicho vínculo, puesto que estas se van a evidenciar en los subsistemas. En el artículo Estática Aplicada: los Vínculos y su Aplicación a Sistemas Estructurales en la Realidad se abordaron los vínculos y las reacciones (restricciones) que estos aportan. De igual manera, en el artículo anterior se abordan las ecuaciones de condición y como se obtienen haciendo cortes en los vínculos internos.
Las restricciones que no proporciona el vínculo interno se traducen en menos incógnitas internas en el subsistema producto del corte, y podemos apoyarnos de esto para plantear alguna sumatoria de fuerzas o momentos en el subsistema sin que aparezca alguna incógnita interna “no deseada” puesto que nos interesan son las incógnitas externas. Luego de unos pocos subsistemas realizados y analizados, es posible empezar a evidenciar de forma más clara los pasos a seguir para plantear las ecuaciones de condición internamente sobre el sistema original sin la necesidad de realizar cortes y dibujar el subsistema cada vez que se realice este planteamiento.
Las rótulas y las bielas paralelas son los vínculos internos que podemos evidenciar en el ejemplo propuesto, y nos apoyaremos en estos para determinar algunas de las reacciones externas.
Explicaré de manera detallada la serie de pasos que considero nos llevará más rápido a hallar todas las reacciones externas.
En el sistema mostrado en la Fig. N°1 podemos observar el subsistema “CEFG”, similar al arco triarticulado del artículo anterior sobre las Ecuaciones de Condición, y podría pensarse en plantear un par de ecuaciones con dos incógnitas mediante la sumatoria de momentos en las rótulas “E” y “C”. Sin embargo, podemos ver que la rótula “C” se alinea de manera horizontal a la articulación fija a tierra en “G”. De esta manera, mediante un corte en la rótula “C” podemos plantear sumatoria de momentos en este punto para el subsistema “CEFG” y solo tendremos una incógnita a despejar: GV.
Como podemos ver, en el cuadro realizado en el paso N°2 se ha tachado la incógnita ya calculada y ya hemos utilizado una de las cuatro ecuaciones de condición necesarias.
Seguidamente, podemos hacer lo mismo en la rótula “E”, de manera que mediante una sumatoria de momentos en este punto para el subsistema “EFG” podemos calcular GH ya que la reacción GV es conocida.
Puesto que tenemos tres incógnitas en el empotramiento “D”, nos concentraremos en el empotramiento móvil en “A” que solo tiene dos. Mediante un corte en las bielas paralelas en “B” tendremos el subsistema “AB”. Mediante sumatorias de fuerzas en horizontal y vertical podremos deshacernos de la incógnita interna no deseada que introduce este vínculo interno y calcular AH (ver cálculos del paso N°5 para entender mejor este procedimiento).
Pero hemos planteado dos (2) sumatorias de fuerzas ¿Por qué solo estamos utilizando una (1) ecuación de condición? Las bielas paralelas permiten plantear una ecuación de condición: sumatoria de fuerzas en dirección perpendicular a las bielas. Ya que las bielas en “B” están inclinadas, se ha evitado plantear la sumatoria de fuerzas en una dirección en la cual se deberán proyectar todas las fuerzas actuantes y en cambio se han planteado dos sumatorias de fuerzas en direcciones más convencionales (horizontal y vertical) las cuales son componentes directas de la sumatoria en la dirección perpendicular a las bielas.
Hasta ahora hemos utilizado tres (3) ecuaciones de condición, por lo que según el paso N°3, solo necesitaremos una ecuación de condición adicional.
Podemos aprovechar el subsistema “ABC” mediante un corte en la rótula “C”, ya que mediante una sumatoria de momentos en este punto solo tendremos una incógnita: el momento de “A”: MA.
Luego de utilizar las cuatro ecuaciones de condición necesarias y tachar todas las incógnitas ya calculadas, podemos observar algo interesante en el cuadro: en cada dirección (horizontal y vertical) solo hay una incógnita. Es por esto que aplicamos las tres ecuaciones de equilibrio estático al final, ya que solo nos quedan tres incógnitas. Los siguientes dos pasos serían entonces plantear el equilibrio general de fuerzas en el sistema en dirección horizontal y vertical respectivamente, de esta manera podemos hallar DH y DV.
Solo nos está faltando calcular el momento de “D”, y esto lo podemos realizar mediante la última ecuación general del equilibrio estático: la sumatoria de momentos en cualquier punto. Para simplificar el procedimiento podemos realizar un corte en la rótula “C” y tomar el subsistema “CD”. La sumatoria de momentos en “C” para “CD” nos permitirá hallar MD.
Se evidencia como hemos utilizado primero las ecuaciones de condición para garantizar el equilibrio interno del sistema y luego las ecuaciones fundamentales para alcanzar el equilibrio externo. Quizás al principio no resulte tan evidente para el estudiante como abordar primero el sistema internamente para calcular una reacción externa, pero la práctica y el tiempo invertido irá ayudando a evidenciar con mayor facilidad las posibilidades que existen mediante las ecuaciones de condición al analizar los vínculos internos.
De esta manera nos concentramos únicamente en hallar un camino que nos conduzca al cálculo de todas las reacciones (encontrar una solución) en vez de intentar ejecutar una solución sin siquiera tenerla (cálculos al azar). Solo con la práctica de este paso se logra reducir el tiempo invertido en el cálculo de reacciones externas ya que cada vez resulta más evidente como podemos aprovechar las ecuaciones de condición. Reducir el tiempo que se emplea para el cálculo de las reacciones externas es de gran importancia, sobre todo en un examen parcial, puesto que en ejercicios de este tipo no solo se suele realizar esto sino también el despiece del sistema (cálculo de reacciones internas) e incluso los diagramas de solicitaciones de cada elemento lineal (barras).
En sistemas isostáticos sencillos puede que no sea necesario aplicar esta metodología ya que el cálculo resulta más evidente.
Al completar el paso N°4 ya se tiene el ejercicio prácticamente resuelto, pero aún no tenemos los resultados, y eso se consigue en el último paso.
Cuando ya sabemos cuál será la metodología a emplear para hallar todas las reacciones, procedemos con las operaciones matemáticas. Según los pasos planteados para el ejercicio propuesto, tenemos las siguientes operaciones:
El equilibrio estático se puede verificar al realizar una sumatoria de fuerzas general en cada dirección y verificar que la fuerza resultante es nula. Lo mismo debe hacerse con el equilibrio de los momentos, ya que una sumatoria de los mismos en cualquier punto del sistema debe ser nula.
Más ejemplos sobre el paso N°4
Ya que el paso N°4 es el más importante, conviene obtener más ejemplos que pueden ayudar a internalizar mejor el proceso de “proyectar” la solución antes de construirla. En estos ejemplos no se han colocado cargas externas a los sistemas isostáticos ni tampoco longitudes ya que solo se hace énfasis en el proceso de hallar las reacciones externas.
En el ejemplo de la Fig. N°9 podemos observar dos particularidades.
Primero, hemos utilizado dos ecuaciones de condición sobre las bielas paralelas (sumatoria de fuerzas), cuando “teóricamente” este vínculo solo permite una (1). Se pudo haber planteado alguna ecuación de condición con la rótula en “E” en el tercer paso, pero hubiéramos obtenido una ecuación con dos incógnitas. La opción de la sumatoria vertical en el subsistema ”CEFG” nos permite despejar directamente la reacción de “F”, una opción mucho más sencilla. Dado que en ningún momento se plantea un sistema de ecuaciones, no hay ningún problema en utilizar un vínculo interno varias veces, de hecho, todo vínculo interno puede ser utilizado cualquier cantidad de veces, lo que sí es erróneo es obtener varias ecuaciones de él y juntarlas, ya que se obtendrá un sistema de ecuaciones incompatible.
Segundo, las tres ecuaciones de equilibrio estático (en verde) no necesariamente deben ser siempre las mismas (sumatoria de fuerzas horizontales, verticales y sumatoria de momentos). Se han planteado dos sumatorias de momentos ya que era el camino más sencillo para lograr el cálculo de todas las reacciones externas. Es decir, al haber solo tres incógnitas restantes podemos utilizar las ecuaciones de equilibrio estático como más nos convengan.
Un detalle que debe tenerse claro es el de las rótulas que están “alejadas” de una junta (Fig. N°10). Esta distancia entre la rótula y la junta es despreciable y solo indica la condición de vinculación interna entre las barras. Esto es equivalente a dibujar una “media rótula”.
En este ejemplo dado por el Prof. Iván Rodríguez (Fig. N°11), podemos observar un sistema en el que no es posible despejar directamente alguna reacción mediante una ecuación de condición y se hace necesario plantear sistemas de ecuaciones. El caso más evidente que todo estudiante debería reconocer inmediatamente es el de la “rótula-rótula-articulación fija” (“E”, “G” e “I”), ya que siempre obtendremos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Estas dos ecuaciones constituyen los dos primeros pasos. Seguidamente, aún vemos que el arreglo del sistema es complejo y no permite la resolución directa de alguna incógnita, por lo tanto, se analiza más a fondo.
En los casos en los que la solución no parece tan evidente, podemos optar por “olvidarnos” de las incógnitas ubicadas en alguna articulación fija (como en “H”) y concentrarnos en las demás. Aún nos quedan por utilizar dos ecuaciones de condición y las rótulas en “B” y “E” nos permiten obtener dos ecuaciones que incluyen las tres incógnitas restantes. Podemos ayudarnos de una de las tres ecuaciones de equilibrio estático para plantear sumatoria de momentos en “H”, anulando así las incógnitas de este punto y obteniendo una tercera ecuación con las mismas tres incógnitas. Luego de esto, solo nos quedarían las reacciones de “H” (últimos dos pasos).
En este ejemplo (Fig. N°12), tenemos otro caso en el que el estudiante debería reconocer inmediatamente la necesidad de plantear dos ecuaciones con dos incógnitas: la configuración “rótula-bielas-articulación fija”. Si bien existe una incógnita que se pudo calcular directamente en el primer paso, no es posible continuar sin plantear algún sistema de ecuaciones, y el caso dado es el camino más sencillo. Las bielas nos permiten obtener una ecuación que contiene a las dos incógnitas de “F”, y la rótula en “C” también.
Próxima publicación: metodología para el cálculo de reacciones internas (Despiece) de sistemas isostáticos. Ya abordadas las reacciones externas, mediante el uso de las ecuaciones de equilibrio estático veremos cómo analizar el equilibrio interno del sistema para hallar las reacciones internas que se transmiten de un elemento a otro en el sistema isostático.
Conclusiones
•El análisis de sistemas isostáticos solo puede realizarse satisfactoriamente si se tiene presteza en el cálculo de las reacciones externas, puesto que este es el paso inicial en el estudio de los mismos y que además representa la esencia de la estática: el equilibrio de sistemas. Esto da paso a que el estudiante tenga más tiempo de realizar los pasos posteriores al cálculo de reacciones los cuales suelen ser el despiece del sistema y la realización de los diagramas de solicitaciones.
•Con la metodología propuesta, se logra mejorar el enfoque y la manera de abordar el sistema isostático ya que mediante la práctica se comprende mejor la utilidad de las ecuaciones de condición y cómo aprovechar el arreglo de los vínculos y chapas del sistema para hallar las incógnitas externas. Esto influye en el tiempo y la cantidad de pasos a emplear para hallar todas las reacciones.
•El enfoque del análisis previo a la realización de cálculos no solo influye en la efectividad del proceso, sino que ayuda a obtener la mejor solución, de manera que se pierda menos tiempo en la ejecución de la misma.
Referencias Bibliográficas
[1]Rodríguez, Iván. (2003). Estática de las Estructuras. (p. 11-12, 69-71, 105).Acceso online
Material recomendado
•Estática Aplicada: los Vínculos y su Aplicación a Sistemas Estructurales en la Realidad
•Las Ecuaciones de Equilibrio Estático y algunas aplicaciones en la Ingeniería Civil
•Abordaje sobre las Ecuaciones de Condición en Sistemas Isostáticos
Imágenes y ecuaciones de autoría propia realizadas mediante LibreCAD y Microsoft Word. Imagen de portada elaborada mediante LibreCAD y Microsoft PowerPoint.
Publicado mediante STEM.OpenHIVE
Visite la comunidad StemSocial y las etiquetas #STEMsocial y #STEM-espanol para encontrar contenido de calidad referente a Ciencias, Tecnología, Ingeniería, Matemáticas (STEM por sus siglas en inglés) y otros tópicos relacionados. STEMsocial es una comunidad con más de tres años de trayectoria conformada por autores de todo el mundo en la que se comparte y aprecia el contenido STEM de calidad entre sus usuarios.
Para mayor información y si deseas publicar contenido STEM acá está el enlace de invitación al canal de Discord de #STEM-espanol: https://discord.gg/UJwQXWP donde puedes presentarte y aclarar dudas.
Créditos de la imagen: 
