Saludos amigos e integrantes de la plataforma hive.
En esta oportunidad quiero presentar ante todos ustedes unas de las aplicaciones de la integral como es el cálculo de volumen de un sólido en revolución empleando integrales.
Para este caso el sólido en revolución se forma cuando se hace girar la porción de la gráfica de una función alrededor del eje y.
El ejemplo que se tiene a continuación es el de encontrar el volumen de la porción de gráfica que va 0≤x≤1 y desde el eje x hasta la función de la función cúbica:
La gráfica de la función es la siguiente:
Como el sólido en revolución que se va a formar es al hacer girar la porción de dicha función cúbica mencionada anteriormente, entonces les muestro la porción del gráfico al que se le va a calcular el volumen por el método de capas:
Como solución para encontrar dicho volumen nos planteamos la siguiente fórmula:
Si se colo un rectángulo representativo para indicar la altura del área representativa, entonces la distancia que existe desde el origen hasta la mitad de dicho rectángulo es p(x) =x.
Mientras que la altura de dicho rectángulo representativo es:
Nos planteamos como queda sustituyendo los valores en la fórmula de volumen:
Para resolver dicha integral primeramente es aconsejable realizar la multiplicación del factor x multiplicado por lo que está dentro del paréntesis, para ello aplicamos la propiedad distributiva:
Como ya sabemos 2π es una constante numérica que simplemente va a multiplicar el resultado que nos de resolver la integral definida planteada, como lo he dicho y resuelto en otras entregas dedicadas al cálculo, para resolver la integral definida es propicio que apliquemos el teorema fundamental del cálculo:
No se realizó la sustitución del límite inferior porque es igual a cero, lo que queda es realizar la operación fraccionaria que está dentro del corchete y se multiplica por 2π:
El resultado final como pudieron apreciar es el estimado a 2,51 unidades de volumen.
Referencia consultada y recomendada
Cálculo completo Vol 1 y 2 9na Edición Ron Larson & Bruce H. Edwards
Observaciones
Todas las imágenes son de mi autoría y fueron elaboradas empleando las herramientas de diseño de Microsoft Word y Microsoft PowerPoint.