Saludos amigos e integrantes de la plataforma hive.
Esta vez quiero desarrollar este artículo basado esencialmente en la interrogante que leyeron en el título de esta publicación:
¿Realmente la derivada de una función es la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto dado?
Cuando planteó esta interrogante no es porque la derivada de una función no sea el valor de la pendiente de la recta que es tangente a la curva en un punto dado, sino que al plantearnos esa interrogante damos cabida a que nuestra capacidad cognitiva se desarrolle considerablemente tratando de demostrar aspectos del cálculo que son esenciales para entender algunos conceptos.
Para este caso voy a demostrar que sí, que realmente la derivada de una función es el valor de la pendiente de la recta que es tangente a la curva en un punto dado, para ello quiero explicar el siguiente ejemplo:
Demuestre que la pendiente de la recta que es tangente a la función:
en el punto (-1;3) se puede encontrar empleando el concepto de la derivada de una función.
Lo primeramente importante es derivar la función cuadrática en mención, para ello aplicamos primeramente la derivada de la suma y/o resta:
Mediante esta regla básica de derivación, simplemente lo que decimos es que vamos a derivar cada uno de los términos que componen la ecuación de segundo grado, Como la derivada de una constante (número) es igual a cero, nos queda que la derivada de -4 es cero, mientras que la derivada de x al cuadrado es 2x, implica que el resultado final de dicha derivada es -2x:
El valor de la pendiente (m) es sustituir el valor de las coordenadas del punto (-1; 3) en el valor de la derivada, sabiendo que la coordenada en x= -1 y la coordenada en y=3, por lo tanto:
se sustituye la coordenada x= -1 en el valor de la derivada:
El valor de la pendiente de la recta que pasa por el punto (-1; 3) es igual a 2, sin embargo para comprobar si dicha recta realmente pasa por el punto (-1; 3) y de esta manera demostrar que la derivada es el única vía para conseguir el valor de la pendiente de una recta que pasa de forma tangencial por un punto cualquiera de una función.
Para ello vamos a encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1; 3) y tiene como pendiente m=2. Como tenemos como dato un punto por donde pasa la recta y el valor de su pendiente entonces utilizamos la ecuación punto - pendiente:
Donde está la m debemos sustituir el valor de 2 que es el valor de la pendiente, y para el caso de y1 debemos sustituir 3, y en donde está x1 sustituimos el valor de -1, procedemos de la siguiente manera:
Realizamos los cálculos pertinentes, como por ejemplo realizar la propiedad distributiva y despejar la variable y:
Finalmente obtuvimos la ecuación de la recta
Para verificar si realmente esta recta corta a la parábola en el punto (-1; 3) de forma tangencial, voy a utilizar el software geogebra 5.0 para graficar la función parabólica y la recta, y de esta forma ver si la recta es tangente al punto (-1; 3):
Para demostrar que esa es la recta tangente a la curva en el punto (-1; 3) simplemente sustituimos las coordenadas del punto (-1;3) y si satisface la ecuación de la recta es porque queda demostrado que la derivada es realmente el mecanismo mediante el cual se calcula el valor de la pendiente de la recta que es tangente a la curva en un punto.
Observaciones
Todas las imágenes de las ecuaciones creadas son de mi autoría y fueron elaboradas mediante las herramientas de diseño de Microsoft Word.
Referencia recomendada
Cálculo (completo) Vol 1 y 2 9na Edición Ron Larson & Bruce H. Edwards