¿Cómo es el momento de torsión sobre un lazo de corriente en un campo magnético?

La publicación anterior estudiamos como se ejerce una fuerza sobre un conductor que conduce corriente, cuando éste se coloca en un campo magnético. En ésta ocasión, nos dedicaremos a estudiar el momento de torsión sobre un lazo de corriente en un campo magnético uniforme.

Para poder hacer este análisis, es propicio considerar un lazo rectangular que conduce corriente I en presencia de un campo magnético uniforme en dirección paralela en el plano del lazo, así como lo muestra la imagen a continuación. Las fuerzas sobre los lados de longitud a son cero ya que estos alambres se encuentran paralelos al campo, por lo que ds x B para estos lados; mientras que la magnitud de las fuerzas sobre los lados de longitud b, puede ser.

Analizando la dirección de F1, la cual es la fuerza en el lado izquierdo del lazo, apunta hacia afuera, mientras que la dirección de F2, que es la fuerza en el lado derecho de lazo, se hacia adentro de la pantalla. Ahora bien, es propicio analizar que si fuésemos observado el lazo desde la parte inferior y mirando hacia arriba, obtendríamos las fuerzas tal como se ven en la imagen a continuación.

Pero si suponemos que el lazo tiene un pivote que le permita girar en torno al punto O, donde podemos ver estas dos fuerzas logran producir un momento de torsión con respecto de O, que hace girar el lazo en el sentido de las manecillas del reloj, y la magnitud de este momento de torsión seria:

Donde el brazo de palanca alrededor de O es a/2 para cada fuerza, como el área del lazo es A = ab, el momento de torsión máximo se puede expresar como:

Sin embargo, es importante recalcar que ésta expresión es válida cuando el campo magnético esté paralelo al plano del lazo. El sentido de rotación es el de las manecillas del reloj cuando se visualiza desde el extremo inferior. Ahora si se invirtiera la corriente, las fuerzas se invertirían y la tendencia rotacional sería en el sentido contrario al de las manecillas.

Ahora analicemos otra situación, supongamos que el campo magnético uniforme forma un ángulo θ con la línea perpendicular al plano del lazo, tal como se ve en el siguiente diagrama.

Es decir, que por conveniencia debemos manejar a B como perpendicular a los lados de longitud b. En dicho caso, las fuerzas magnéticas F3 y F4 sobre los lados de longitud a, se cancelan entre si y no producen momento de torsión debido a que pasan por un origen común. No obstante, las fuerzas que actúan sobre los lados de longitud b, por otra parte F1 y F2 forma un par y, en consecuencia, generan un momento de torsión en torno de cualquier punto. Con respecto a la posición lateral de la imagen que se presente seguidamente, allí podemos ver que el brazo de palanca de F en torno al punto O que es igual a (a/2) sen Ɵ. De igual forma, el brazo de palanca de F2 alrededor de O es también (a/2) sen Ɵ.

Como, F1 = F2 = IbB. El momento de torsión alrededor de O tiene la magnitud.

Donde A = ab es el área del lazo. Esta expresión nos muestra que el momento de torsión tiene su valor máximo IAB cuando el campo está paralelo al plano del lazo (Ɵ = 90°), como ya hemos analizado la situación, y el campo es cero cuando se encuentra perpendicular al plano del lazo (Ɵ = 0), el lazo tiende a rotar en la dirección de los valores decrecientes de θ, es decir, que la normal al plano del lazo gira hacia la dirección del campo magnético. Es por ello, que la expresión adecuada para el momento de torsión es:

En ésta ecuación donde A, es un vector perpendicular al plano del lazo, tiene una magnitud igual al área del lazo. El sentido de A está determinado por la regla de la mano derecha. Al rotar los cuatro dedos de la mano derecha en la dirección de la corriente en el lazo, el pulgar apunta en la dirección de A. El producto IA se define como el momento magnético µ del lazo, el cual matemáticamente se puede escribir así:

La unidad del momento magnético del SI es el ampere por metro cuadrado. Con ésta definición, podemos expresar de torsión como,

Es importante mencionar que este resultado es análogo al momento de torsión que actúa sobre un dipolo eléctrico en presencia de un campo eléctrico E, donde τ = p x E.

Aunque tenemos el momento de torsión para una orientación particular de B respecto al lazo, la ecuación τ = p x B es acertada para cualquier orientación. Por otra parte, aunque obtuvimos la expresión del momento de torsión para un lazo rectangular y resulta ser válido para un lazo de cualquier forma.

Si una bobina consta de N número de vueltas de alambre, y cada una conduce la misma corriente y tiene la misma área, entonces el momento magnético total de la bobina es el producto del número de vueltas y el momento magnético para una sola vuelta. Entonces el momento de torsión de una bobina es:

Ahora bien, me parece propicio que podamos aplicar todo lo analizado a lo largo de esta publicación, entonces, conozcamos el momento magnético de una bobina. Tomemos en consideración una bobina rectangular de 5,40 cm x 8,50 cm consta de 25 vueltas de alambre. La bobina conduce una corriente de 15 mA. Entonces ¿Cómo es la magnitud de su momento magnético?.

En este sencillo ejemplo, nos hablan de una bobina rectangular con 25 vueltas de alambre y que conduce una corriente de 15 mA. Por cuanto, el momento magnético en un lazo de corriente es µ = IA, pero primero debemos calcular el área.

Suponiendo que cada vuelta tiene la misma área, tenemos que:

En conclusión, la magnitud del momento magnético de la bobina rectangular es de 1,72 x 10 exp -3 ampere por metro cuadrado.