Momentum de un Fotón

Antes de comenzar a desarrollar el tema de hoy es importante conocer un poco sobre el origen de una partícula muy común en la Física Moderna pero no tanto dentro de la Mecánica Clásica, se trata del Fotón.

Para cuando transcurría el siglo XVIII la mayoría de las teorías establecidas acerca del estudio de la composición de la luz compartida en textos a lo largo de este tiempo, en su mayoría las teorías expuestas hablaban sobre la presencia de partículas. Partiendo de este hecho, es importante acotar que se tomo muchísimo tiempo en llegar a una aceptación formal por parte de la comunidad científica, y esto se debió a la dificultad de poder explicar ciertos fenómenos como la refracción o la difracción de la luz, basándose en el modelo de partículas.

Es por ello que surge una partícula llamada fotón, el cual se trata de una partícula elemental que está compuesta por luz; de la misma manera que las partículas conocidas hasta el momento, los fotones no presentan una estructura interna totalmente conocida y no se encuentran constituidos por otras partículas. Los fotones son portadores de la luz visible, ultravioleta, infrarroja, rayos X, gamma y otras; entre sus principales características se encuentra el hecho de que viajan en el vacío a una velocidad constante, poseen una masa de cero y no tienen carga eléctrica.

Ahora bien, los fotones son los “cuantos” del campo electromagnético, como y hemos mencionado en publicaciones anteriores, que la radiación casi monocromática de frecuencia f se manifiesta en forma de paquetes que transportan una energía E = hf. Esta suposición la podemos observar de manera inmediata en el estudio del efecto fotoeléctrico; al igual que en otros experimentos que conllevan exactamente a la misma conclusión. Partiendo de todas estas observaciones, entonces esto implica que la relación E = hf válida en un intervalo de frecuencias muy amplio; en esta ocasión se tratara de realizar la extrapolación de que esta relación entre la energía del paquete y la frecuencia es completamente general y viable para todos los factores.

Según la física newtoniana, una partícula se caracteriza por su masa, su energía, o por la cantidad de movimiento o impulso; en esta ocasión trataremos de realizar la deducción de la relación entre la energía y el impulso de un fotón, partiendo de las ecuaciones de la física relativista y aplicando los respectivos métodos matemáticos.

Para comenzar, podemos hace uso de nuestra imaginación, tratando de ve un fotón moviéndose en un sistema de referencia inercial S, en la dirección positiva del eje X. Entonces, digamos que el fotón es una partícula con energía E = hf con un impulso p que por razones de simetría el sentido del impulso debe coincidir con el X, así como se puede ve en el diagrama a continuación.

Ahora, imaginemos la misma situación pero con un sistema de referencia inercial S’, el cual se mueve respecto al sistema S con velocidad uniforme v, a lo largo del eje positivo.

Para el segundo caso, el observador que supuestamente se encuentra en S ve un fotón con frecuencia f’, que transporta una energía E’ = hf’ y un impulso p’.

Ahora bien, como c > v el fotón se moverá en la dirección positiva del eje X’. Además, es obvio por razones de simetría, que en S y S’ los impulsos deben estar orientados en la dirección del movimiento del fotón. De esta manera podemos prescindir de la notación vectorial para los impulsos, y de esta manera escribir: p y p’ para las componentes X y X’, dado que las demás son iguales a cero. Entonces, existe una expresión matemática que nos permite calcular la frecuencia f’ del fotón, la cual es:

Esta expresión es el primer resultado de las transformaciones de Lorentz, que se conoce en la mecánica relativista como la fórmula del “desplazamiento Doppler longitudinal” que liga las frecuencias f y f’. No obstante, posee un segundo resultado, el cual es la ley de transformación relativista para la energía y el impulso de una partícula; según dicha ley, la energía E’ viene dada por:

Sin embargo,para las frecuencias f y f’ en los sistemas S y S` podíamos decir que:

Si asociamos las dos expresiones anteriores, entonces obtendremos:

Ahora si se reemplaza f’ por su valor en la segunda expresión, entonces:

Finalmente y haciendo uso de los recursos algebraicos, el valor de p, entonces se puede obtener dos expresiones conclusas:

Para concluir, podemos acotar que las dos expresiones obtenidas son validas en todos los sistemas de referencia inerciales, de igual manera, se pueden deducir dentro del marco de la teoría electromagnética, las cuales establecen que un cuanto de luz de frecuencia f transporta siempre el impulso hf/c.

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