Una Breve Explicación sobre la Teoría de Errores

Dentro del proceso experimental de las Ciencias Naturales nos encontraremos con algunos errores al momento de realizar mediciones; no obstante, existe una teoría llamada TEORIA DE ERRORES, la cual trata específicamente el “tratamiento matemático que debe efectuarse con los diferentes resultados obtenidos al medir una determinada magnitud”, para establecer la mejor aproximación buscada y su límite probable de error.

Ahora bien, dentro del proceso de medición pueden intervenir dos clases de medidas, las cuales son directas e indirectas. Sin embargo, las medidas pueden venir afectadas de imprecisiones, esto producto de imperfecciones de los instrumentos de medición, o las limitaciones impuestas por nuestros sentidos, por lo que hay que aceptar el hecho de que no es posible conocer el valor exacto de ninguna magnitud. Por ende, cualquier resultado que se obtenga de manera experimental debe presentarse siempre acompañado de un número que indique cuánto puede alejarse este resultado del valor exacto.

Como ya lo habíamos mencionado al principio las Ciencias Naturales como Física, Química y Biología se fundamentan en las mediciones. Cabe resaltar, que medir una magnitud es comprobarla con otra de su misma especie, que se elige como unidad.

Las medidas se clasifican en directas e indirectas. Las medidas directas son aquellas que solo necesitan de una sola observación, o que simplemente se realizan utilizando un instrumento de medición; un ejemplo de ellas son la longitud, masa, temperatura, tiempo, entre otras. Las medidas indirectas, son aquellas definidas en base a las medidas directas; es decir, se debe recurrir a cálculos matemáticos para obtener dicha medida.

Por ejemplo, si se desea determinar la densidad de un trozo de metal, podemos medir su masa (con una balanza, es decir una medición directa) y su volumen (sumergiéndolo en agua dentro de un cilindro graduado, otra medición directa). Pero para determinar la densidad se debe aplicar la formula D = m/V y proceder a dividir la masa entre el volumen. Como conclusión se tiene que la masa y el volumen se determinaron por medición directa, usando instrumentos de medición y que la densidad fue encontrada por una medición indirecta.

En este sentido, al resultado de medir se le llama Medida, obviamente al determinar cualquier medida debemos proceder con gran cuidado, para que el resultado sea confiable.

Sin embargo, es inevitable que una medida esté libre de error, bien sea por algún defecto del instrumento utilizado (desajuste, desgaste, limitaciones del mismo) o simplemente por algún imprevisto ocurrido durante el proceso de medición. A estos errores se les conoce como sistemáticos o accidentales.

Los errores sistemáticos son aquellos que se repiten constantemente durante un experimento, cabe resaltar que afecta a todas las mediciones de un modo definido y es el mismo para todas ellas; las causas mas probables son los errores de instrumentos (aparatos), errores personales o errores de la elección del método. Por otra parte, están los errores accidentales, los cuales son variaciones que aparecen entre observaciones sucesivas realizadas por un mismo operador; no existe una causa predeterminada para este tipo de errores siendo incontrolables para un observador. Alteran la medida tanto por exceso como por defecto, el origen de estos errores accidentales puede ser el cambio durante el experimento de las condiciones del entorno, errores de apreciación del observador, errores de precisión del aparato de medida, entre otros.

Un aspecto que no podemos dejar de mencionar, es que las mediciones poseen tres aspectos importantes, se trata de la exactitud la cual esta relacionada con el grado de concordancia entre el valor verdadero y el experimento; el otro aspecto es la precisión, la cual es la concordancia entre una medida y otras de la misma magnitud; por último, está la sensibilidad, la cual esta relacionada con el valor mínimo de la magnitud que es capaz de medir el instrumento utilizado.

Ahora bien, ya después de haber descrito todos los aspectos relacionados con las medidas es propicio preguntarnos ¿Cómo se determinan los errores experimentales? Para poder responder dicha pregunta debemos saber primero que los errores pueden ser absolutos o relativos.

El error absoluto de una medición se define como el valor absoluto de la diferencia entre el valor verdadero y el valor experimental de la magnitud. Lo podemos determinar mediante la siguiente expresión:

Es importante acotar, que el hecho de que el error absoluto se manifieste con barras de valor absoluto, hace la acotación que se trata de garantizar que el resultado sea positivo.

El error relativo de una medición, es el cociente entre el error absoluto y el valor verdadero de la magnitud que ha sido objeto de medición. Este tipo de error se calcula usando la ecuación siguiente:

Es importante acotar que el error relativo se expresa en términos de porcentaje.

Supongamos que nos piden medir la longitud del pizarrón que se encuentra dentro de un ambiente de clases; para ello requerimos de un instrumento de medición acorde para trabajar con longitudes, es por ello que utilizaremos un metro.

Sin embargo, antes de proceder a realizar la medición debo conocer cual es la sensibilidad del instrumento. Recordemos que la sensibilidad del instrumento, se encuentra relacionada con el valor mínimo de la magnitud que es capaz de medir.

Observando detalladamente el metro, se pueden evidenciar líneas; es decir, distintas divisiones que se encuentran en la estructura del metro. Entre estas líneas hay algunas que separan la mínima longitud posible a lo largo de la lámina del metro. Estas mínimas divisiones son los milímetros, lo que quiere decir que la medida más pequeña que este instrumento puede hacer es de 1 mm. Con dicho instrumento no se puede medir micrómetros, nanómetros o picometros, por lo que la sensibilidad de este instrumento es de 1 mm.

Como ya se conoce la sensibilidad del instrumento, se procede a medir el ancho del pizarrón. De esta medición se obtiene un valor que es 119,2 cm.

Esta es nuestra única medición por lo que procedemos a calcular los errores absolutos y relativos. Pero antes de comenzar con los cálculos es necesario expresar la sensibilidad del instrumento en las unidades de la medida obtenida, por lo que realizamos una conversión de unidades de milímetros a centímetros.

Decimos que 1mm = 0,1 cm. Entonces la sensibilidad es de 0,1 cm

Cuando se realiza una sola medición, el error absoluto es igual a la sensibilidad del instrumento. Es decir que:

Para expresar el valor de la medición, se debe colocar el valor que se obtuvo con el metro, más o menos el error absoluto.

Cuando se expresa el valor de la medición de esta manera, se está dando a conocer el valor verdadero o real del ancho del pizarrón y su valor estará dentro de un intervalo de valores. ¿Cuál será ese intervalo? Ese valor va desde 119,1 cm hasta 119,3 cm porque el error absoluto es de 0,1 cm, y en ese rango de valores va a estar ubicado el valor verdadero del ancho de la pizarra.

Ahora podemos calcular el error relativo, a través del cociente entre el error absoluto y el valor obtenido al usar el metro.

Para obtener el error porcentual se multiplica el valor por 100.

Supongamos, que se conforman equipos de cuatro personas y cada integrante debe medir el ancho de la pizarra. Es decir, se obtendrán cuatro mediciones, entonces se calcularán los errores correspondientes y para ello utilizaremos el siguiente cuadro:

En la primera columna vamos a enumerar cada una de las mediciones; cómo son cuatro participantes entonces serán ese mismo número de medidas, al final se colocará que n = 4.

Cómo ya se había asignado, cada integrante realizó la medición correspondiente; y de dicho proceso se obtuvieron las siguientes medidas o valores:

Y se proceden a colocar en el cuadro en la segunda columna.

Después de obtener todos los valores, procedemos a calcular el promedio. Esto lo realizamos sumando todas las medidas y luego dividiendo entre el numero de medidas, de la siguiente manera:

Quiere decir que el valor promedio es de 119,4 cm. Esto lo colocaremos en el ultimo recuadro de la segunda columna. Ahora, con el valor promedio que se acaba de calcular, vamos a determinar cada una de las desviaciones. Se hará de la siguiente manera: Restando cada uno de los valores obtenidos menos el valor promedio.

Calculamos los resultados obtenidos en la ultima columna del cuadro. Después de tener todas las desviaciones, las sumaremos y posteriormente se dividen entre n, que en este caso es 4.

Una vez calculado ∆X, se coloca el valor obtenido en el ultimo espacio de nuestro cuadro. Como ya tenemos todos los valores en nuestro cuadro, podría surgir la siguiente pregunta, ¿Para que me sirven todos estos datos? Pues ahora, se debe determinar el valor absoluto para el conjunto de mediciones obtenidas.

Para hallar el valor absoluto de un conjunto de mediciones, se compara ∆X con la sensibilidad del instrumento. Sabiendo que la sensibilidad es de 0,1cm; se considera como error absoluto al mayor de estos valores, por lo tanto:

Si se desea expresar el valor de la medición, decimos que:

Esto quiere decir que el valor verdadero se encuentra en 119,2 cm a 119,6 cm. Ahora determinemos el error relativo, para ello se utiliza la siguiente expresión:

Sustituimos y obtenemos:

Analizando un poco los resultados obtenidos cuando se trabajo con una sola medida, y cuando se obtuvieron cuatro medidas, podemos ver que el error se duplicó. Se puede concluir que cuando se realizaron las cuatro mediciones por cuatro personas diferentes pudo haber algo de descuido, simplemente estuvimos en presencia de un error humano.

Sánchez, E. (2005). Física. Caracas: Ediciones CO-BO.