Ecuación de Max Planck, nacimiento de la mecánica cuántica
En el post anterior (Ver Post) llegamos a la ecuación (7)
Examinemos las dimensiones o unidades de esta ecuación
En el sistema internacional tendremos
Si multiplicamos ambos miembros de esta ecuación por el diferencial de frecuencia, es decir,
y sus dimensiones son
En el sistema internacional tendremos
Es decir, obtenemos el número de nodos por unidad de volumen, y esto estará en el rango de frecuencias de v a v+dv. La densidad de energía electromagnética en ese rango de frecuencia viene dada por la siguiente expresión
Sustituyendo (7) en (9)
La dependencia de la temperatura subyace precisamente en esa energía promedio, la cual ahora debemos calcular. Para hallar esta energía se utiliza en teorema de equipartición de la termodinámica clásica:
En el siguiente video explico en detalle el resultado de la expresión (11)
Video 1: Cálculo de la energía promedio
Entonces tenemos que (Ver Video arriba)
Sustituyendo (12) en (10)
Esta ecuación (13) es la que finalmente establece la ley de Rayleigh-Jeans, ya que el el físico británico James Jeans contribuyó trabajó y aporto en el estudio de este fenómeno. Sin embargo, esta ley da muy buenos resultados y concuerda con los datos experimentales para frecuencias bajas, pero difiere abruptamente para frecuencias altas. Este resultado conlleva a que la cavidad contiene una energía infinita, lo cual es totalmente absurdo. Este hecho lo bautizaría el físico austriaco Paul Ehrenfest como la catástrofe ultravioleta.
El siguiente gráfico muestra el desacuerdo existente entre la ley de Rayleigh-Jeans y los resultados que arroja el experimento.
Fue un día viernes 14 de diciembre de 1900 cuando el físico alemán Max Planck presentó un trabajo en el que presentaba, por fin, la respuesta a este enigmático problema que traía desde décadas atrás con dolores de cabeza a los físicos de la época.
Planck elaboró un genial esquema estudiando las leyes de Wien y de de Rayleigh-Jeans, aquí el evita la catástrofe ultravioleta y da una descripción exacta de la radiación de cuerpo negro. Su teoría estaba en total desacuerdo con establecer una onda estacionaria, tal y como lo había propuesto Rayleigh, este último asumía que cualquier onda estacionaria intercambiaba cualquier cantidad de energía con la materia, es decir, se hacía de forma continua. Planck por el contario consideraba que la radiación energética se daba en la naturaleza de forma discreta. De acuerdo con esto su postulado reza que la radiación de frecuencia que emite la oscilación de una carga desde las paredes de la cavidad es dada en múltiplos de números enteros, es decir
De tal manera, como la energía es discreta, debemos cambiar en la ecuación (11) la integral por una sumatoria, es decir
y eso no da
En el siguiente video deduzco paso a paso la expresión (16)
Video 2: Ecuación de Planck
Ahora sustituimos (16) en (10) y obtenemos una nueva ecuación para la densidad de energía dada por
y esta ecuación es conocida como la distribución de radiación de Planck la cual da como resultdo un ajuste perfecto con los datos experimentales. En la siguiente figura, podemos observar las tres leyes que hemos discutido en estos post sobre la radiación de cuerpo negro: Wien, Raylegh-Jeans y Planck, siendo esta última la que realmente muestra lo que sucede con la radiación de cuerpo negro y la interacción de la energía con la materia. Planck de esta forma cuantiza la energía y da nacimiento a la mecánica cuántica.
Bibliografía
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- Zettili N. Quantum mechanics. Concepts and applications. Wiley, 2009.
- Shankar R. Principles of quantum mechanics. 2nd Ed. Plenum Press. New York, 1994.
- Liboff R. introductory quantum mechanics. 4th Ed. Addison Wesley, 2003.
- Gasiorowicz S. Quantum physics. 3th Ed. John Wiley & Sons, 2003.
- Feynman R. P. Física. Volumen III: Mecánica cuántica. Bilingua, Bogotá, 1971.
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