Saludos, comunidad de #Stem-espanol, hoy les compartiré un artículo enfocado en los números primos, uno de los conjuntos numéricos más importantes en el desarrollo de las matemáticas.

En primer lugar, definiremos que es un número primo:

“Un número primo es un número natural mayor que 1 que posee solo dos divisores naturales distintos, el mismo y 1.”

Bajo esta definición, los primeros números primos serían 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19, para demostrar que un número no es primo basta con descomponerlo en factores que no incluyan al mismo número, por ejemplo, el 22 no es primo, ya que se cumple 22 = 11 x 2, por otro lado, la demostración de la primalidad de un número es un asunto algo más complejo sobre todo si se trata de números muy elevados.

Históricamente, los números primos fueron de gran interés en el desarrollo de las matemáticas y específicamente de la teoría de números, incluso el Teorema Fundamental de la Aritmética plantea que:

“Todo número natural tiene una representación única como producto de factores primos, salvo el orden.”

En líneas generales, los números primos serían como los bloques de construcción de todos los números naturales, debido al papel central que juegan en la aritmética, en torno a ellos surgieron una serie de cuestiones abiertas que debían ser resueltas, la primera de ellas se refiere al tamaño de dicho conjunto, ¿Es el conjunto de los números primos un conjunto infinito?, la demostración de este asunto debida a Leonhard Euler se presenta a continuación:

Demostraremos por contradicción asumiendo que el conjunto de primos es finito para llegar a un resultado contradictorio. Definimos el conjunto P de números primos:

Como P es un conjunto finito podemos calcular su productoria la cual es igual a

Es decir, Q es el producto de todos los números primos que existen y Q>p_n. Luego existe un Q+1 que no puede ser primo, ya que si fuera primo sería un primo mayor que p_n lo que contradice nuestra hipótesis original.

Al ser Q+1 no primo se puede dividir entre por lo menos un factor primo k, dicho factor pertenece al conjunto P que hemos definido, al pertenecer a dicho conjunto divide también a Q (porque Q es la productoria de todos los elementos de P), de este hecho se deduce que k divide a Q y a Q+1, por lo tanto, también divide a (Q+1)-Q=1, el único número que divide a Q y Q+1 es 1 el cual no es número primo lo que contradice la existencia de un Q+1 no primo y la finitud del conjunto de números primos.

De esta manera, el matemático más prolífico de todos los tiempos demostró la existencia de infinitos números primos, sin embargo, muchos matemáticos siguieron preguntándose si su distribución en el conjunto de los números naturales seguía alguna regla preestablecida, no fue hasta la llegada del príncipe de las matemáticas Carl Friedrich Gauss que este asunto tuvo un primer acercamiento, en 1792 Gauss conjeturo lo siguiente:

Sea π(x) la función contadora de números primos, cuando x tiende a infinito, entonces π(x) tiende al cociente x/ln(x).

Si bien se trataba solo de una conjetura, en el año 1896 Jacques Hadamard y Charles-Jean de la Vallée Poussin la demostraron utilizando para ello la teoría referente a la función zeta de Riemann. Sin embargo, al tratarse de una aproximación a la función contadora de números primos, con el pasar de los años ha sido refinada y mejorada, el análisis de estas demostraciones hace uso de profundos conceptos que subyacen en la teoría de números y que van más allá de los propósitos de este artículo; sin embargo, para ejemplificar los cálculos utilizaremos una mejora de Legendre:

ANÁLISIS DEL ERROR

Comenzaremos contando los números primos existentes en los primeros 40000 números naturales, para lo cual desarrollamos el siguiente código en el Sistema de Álgebra Computacional (CAS) wxMaxima.


fpprintprec:9$
n:0$
contador:0$
while n<=40000 do
(
if primep(n) then
(
contador:contador+1,
print("",n," es primo, primos contados=",contador)
),
n:n+1
);


Ejecutamos el script obteniendo al final de la salida los siguientes valores:

Obtenemos como resultado que existen 4203 números primos en el intervalo seleccionado, ahora aplicamos la fórmula de Legendre:

Una aproximación bastante cercana que solo difiere en uno, al calcular el error porcentual relativo observamos que es apenas 0,024%.

De esta forma, se evidencia la gran precisión del teorema de los números primos al aproximar la cantidad de primos para un valor de n bastante elevado, convirtiéndose en una herramienta práctica que puede ser usada en diversas situaciones y arrojando información valiosa sobre la distribución de los números primos en el conjunto de números naturales.

El tema de los números primos puede ser abordado desde diversas aristas, en este post me enfoqué en el cardinal de dicho conjunto (cantidad de elementos), hasta aquí ha sido todo por hoy y espero que les haya gustado mi artículo.