{Mata Kuliah} Aljabar Boolean dan Teori Graph

APLIKASI ALJABAR BOOLEAN DALAM JARINGAN SWITCHING

Transmisi data/informasi jarak jauh biasa dilakukan melalui jaringan switching node, transmisi dimulai dan diakhiri di perangkat yang disebut station, yang dapat berupa komputer, terminal, telepon, dll.
Switching node pada umumnya mengenal dua keadaan (bilangan biner) 0 dan 1, 0 digunakan untuk jangkauan tegangan antara 0 sampai 0,8 volt, 1 digunakan untuk jangkauan tegangan antara 2 volt sampai 5 volt. Jadi 0 dan 1 menyatakan variabel tegangan.
Untuk dapat menyelesaikan persoalan jaringan switch-ing kita harus mengenal terlebih dahulu hukum-hukum aljabar Boole sebagai berikut: Bila C D E € (B =himpunan Boole) maka memenuhi hukum-hukum sebagai berikut =>

1. Komutatif
   a + b = b + a
   a × b = b × a

2. Distributif
   a + ( b × c ) = (a + b) × (a + c)
   a × ( b + c ) = (a × b) + (a × c)

3. Identitas
   a + 0 = a ,0 = elemen zero
   a x 0 = a ,1 = elemen zero

4. Komplemen
   a + a’ =1
   a x a’ =0

5. Idempoten
   a + a = a
   a x a = a

6. Boundednes
   a + 1 = 1
   a x 0 = 0

7. Involusi
   (a’)’ = a
   0’ = 1
   1’ = 0

8. Asosiatif
   (a + b) + c = a + (b + c)
   (a x b ) x c = a x (b x c)

9. De Morgan
   (a + b)’ = a’ x b’
   (a x b)’ = a’ + b’
   Pada umumnya, Jaringan switching dibentuk dari rangkaian dasar seri (AND) dan pararel (OR).

RANGKAIAN SERI (AND)
Notasi : A x B atau A ˄ B atau AB

RANGKAIAN PARALEL (OR)
Notasi : A + b atau A˅B

Contohnya:
Gambarkan jaringan switching yang diberikan oleh polinomial Boole (x ∧ (y ∨ x ) ∧(x ∧ y )’) kemudian sederhanakanlah jaringan tersebut; Bilamana jaringan tersebut on atau off?

Jawab :

x ˄ (y ˅ x ) ˄ ( x ˄ y)’ ≡ x ˄ (y ˅ x ) ˄ ( x’ ˄ y’ ) , De Morgan

Teori Graph

JENIS – JENIS GRAPH
Berdasarkan Bentuknya Graph terbagi 6, yaitu :

1. Multigraph
   Adalah graph yang mempunyai satu atau lebih pasangan rusuk ganda yang menghubungkan 2 buah titiknya.

      A                    B                 Titik A dan D dihubungkan oleh  2 buah
                        e3  e4        e5                       Garis (rusuk ) e1 dan e2 demikian juga
   

e1 e2 C titik B dan C dihubungkan oleh rusuk
e6 e7 e4 dan e5
D E

1. Pseudograph
   adalah graph yang memiliki satu atau lebih pasangan rusuk ganda yang menghubungkan 2 buah titiknya (multigraph) dan memiliki satu atau lebih loop pada titiknya.
   e8 Graph di samping selain memiliki rusuk
   A B ganda juga memiliki dua buah loop
   e3 e4 e5 di titik B dan E. Loop adalah rusuk
   e1 e2 C yang ujungnya hanya memiliki sebuh
   e6 e7 titik.
   D E
   e9

2. Trivialgraph
   adalah graph yang hanya terdiri dari satu titik.

3. Graph Lengkap ( Kn )
   adalah graph yang setiap titiknya terhubung dengan semua titik yan lain
   dengan hanya satu rusuk.

1. Graph Teratur
   adalah graph yang setiap
   titiknya mempunyai sejumlah
   incident rusuk yang sama

1. Bipartitegraph A
   adalah graph yang titik-titiknya B
   dapat dikelompokkan menjadi dua, C
   titik-titik dalam satu kelompok tak D
   terhubung dan titik-titik antar E
   kelompok terhubung lengkap
   JARAK
   Dalam sebuah graph, Penting untuk mengetahui hal-hal yang berkaitan dengan jarak misalnya untuk menentukan jari-jari, diameter, sentral dan pusat graph.

Jarak anatara dua titik adalah Walk yang semua titiknya berlainan dan mempunyai lintasan
terpendek.

Contoh :
Dapat dibuat banyak Walk yang semua titiknya berlainan anatar Jakarta – Bogor , yaitu :
Jakarta – Jagorawi – Bogor
Jakarta – Tangerang – Bogor
Dari contoh lintasan-lintasan di atas yang disebut jarak adalah lintasan
Jakarta – Jagorawi – Bogor karena terpendek .

   a.  Eksentrisitas Suatu Titik {e(u)}
 Eksentrisitas suatu titik adalah jarak terpanjang suatu titik terhadap semua 
 titik dalam sebuah graph.

Contoh : A B C Jarak A – B = 1
A – C = 2

                                                                                              A – D  = 2 
                                                                                              A – E  = 1 

D E F G H A – F = 2
A – G = 3
A – H = 4

  Jadi Eksentrisitas titik A = e(A) = 4 

b. Pusat Graph
adalah himpunan titik-titik yang nilai eksentrisitasnya = jari-jarinya.

Dari contoh di atas pusat graph adalah (F)

c. Jari-jari Graph { r(G)}
adalah eksentrisitas titik yang terkecil dalam sebuah graph.

Contoh :
Dari gambar sebelumnya , eksentrisitas titik-titiknya sebagai berikut :
e(A) = 4 ; e(E) = 3
e(B) = 3 ; e(F) = 2
e(C) = 4 ; e(G) = 3
e(D) = 4 ; e(H) = 4

Jadi jari-jari graph = r(F) = 2

d. Diameter Graph { d(H)}
Diameter graph adalah eksentrisitas titik yang terbesar dalam sebuah graph.
Contoh :
Dari Graph di atas dapat disimpulkan bahwa Diameter Grap d(H) = 4

Cukup Sampai Disini dulu Semoga Bermanfaat Jika ada yang Ingin Request MK Kalkulus/Matematika Diskret bisa dikolom bawah dikomentari
Terimakasih..