Analisi Complessa in pillole (iv)

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Ho definito nell'ultimo post cosa è una funzione analitica, abbiamo visto il sistema di equazioni di Cauchy Riemann che ci dice in modo semplice quando una funzione è analitica. Vediamo adesso una definizione in più e qualche altro teorema/proposizione.

Definizione: funzione armonica.

Sia A aperto di ℝ^n e u: A → ℂ funzione, u si dice armonica se:

1. u ∈ C^2(A) (questo simbolo vuol dire che u ammette derivate continue fino al secondo ordine in A).

2. Δu = 0 (verifica l'equazione di Lagrange, ovvero la somma delle derivate di secondo grado fa zero, basta fare la somma della traccia dell'Hessiana dove l'Hessiana è la matrice che rappresenta tutte le derivate di secondo grado della funzione rispetto alle variabili presenti).

Teorema.

Siano A ⊂ ℝ^2 aperto e f=u+iv :A → ℂ funzione analitica con u parte reale e v parte immaginaria di f, allora u e v sono armoniche.

Il teorema è di facile dimostrazione, il primo punto che caratterizza le funzioni armoniche ci viene dalla definizione di funzione analitica, per quanto riguarda la parte sull'equazione di Lagrange basta usare il sistema di equazioni di Cauchy Riemann, si derivano le equazioni rispetto a dx e dy e si trova il risultato.

Definizione: armoniche coniugate.

Siano A ⊂ ℂ aperto, u e v: A → ℝ funzioni tali che u e v siano C^2(A), u e v si dicono armoniche coniugate se f=u+iv è analitica.

Proposizione.

Siano A ⊂ ℂ aperto connesso (intuitivamente un aperto è connesso se è comporto da un'unica componente, pensiamo che A è connesso se ogni suo punto può essere collegato agli altri da una curva continua) e f: A → ℝ funzione analitica allora f è costante.

Questa proposizione è di facile dimostrazione e comprensione, infatti notiamo che il codomidio della funzione è ℝ, questo vuol dire che f della forma u+iv deve avere necessariamente v = 0 (altrimenti avremmo l'unità immaginaria in ℝ che sarebbe un controsenso). Essendo v = 0 anche la sua derivata è 0 e quindi per Cauchy Riemann anche la derivata di u è zero ma noi sappiamo che se una funzione ha derivata 0 allora è costante.

Proposizione.

Siano A ⊂ ℂ aperto connesso, u,v1,v2 : A → ℝ funzioni armoniche e siano f1 = u + v1 e f2 = u + v2 funzioni analitiche allora v1-v2 è costante.

Anche questa dimostrazione è molto semplice, prendiamo la funzione f = 1/i (f1-f2) = v1-v2, abbiamo che v1-v2 è analitica ma soprattutto è a valori reali, per la proposizione precedente dunque v1-v2 è costante.

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