퀴즈 429 넓이비
전체 삼각형과 색칠한 삼각형의 넓이비는?
풀이
이 문제는 모든 변의 길이를 2:1 로 쪼개고 그 지점에서 선분을 그렸을 때 생기는 삼각형의 넓이를 구하는 문제로 사실 여러가지 풀이가 있겠다. 자신이 원하는 삼각형을 그린 후 좌표평면을 이용해서 계산해도 된다. 데카르트의 좌표계는 사실 이런 문제를 어떻게 풀지 모를 때 아주 좋은 도구가 되긴 한다. [계산량이 ㄷㄷ]
어쩔 때에는 그림만 잘 뚤어져라 봐도 풀리는 쉽게 풀리는 경우가 있는데 사실 이 경우가 그렇다. (?)
이 문제는 뉴턴 잡지에서 따온(?) - 사실 중학교 때 시험 문제였던 걸로 기억이 나는데..... 아무튼 뉴턴 잡지의 그 풀이의 과정을 일단 따라해봤다.
빨간색을 연장하고, 각 꼭지점에 빨간색과 평행한 보라색 점을 그려보자
그리고 빨간색과 보라색이 만나는 점에다 파란색 점을 찍고
그 점을 연결하는 도형을 그려보자
그러면 마주보는 두 변은 각각 평행이고 길이비는 1:2가 된다.
에라 ㅋㅋㅋ
그림이 이상해서 그냥 직선으로 다시 그렸다.
검정색 삼각형의 넓이는 전체 13개의 삼각형에서 2*3 인 6개를 뺀 7개가 되고 그래서 전체 삼각형과 색칠한 삼각형의 넓이비는 7:1 이 된다.
엄밀히 말하면 뉴턴 잡지의 풀이는 틀렸다. 사기를 친 것이다.
저 문제는 다음과 같은 것이 증명되어야만 써먹을 수 있다.
[엄밀하게 길이비가 3:3:1 이 되어야 한다.]
즉 이 문제의 핵심은 이것을 보이는 것에 있다.
이걸 어떻게 보일수 있을까?
아주 간단한 경우 지오지브라를 이용해서 길이가 같다는 것을 확인해보았다.
사실 수학적인 증명 방법이 있기는 하다.
먼저 자 삼각형을 다시 그려보자
일단 손쉽게 가는 방법으로는 잘 알려진 기하학 정리를 사용할 수 있다. 이른바
혹은
이것을 문제의 삼각형에 적용해보자
삼각형 ABD 를 기준으로 정리를 쓰면
그러면 한번은 AI 대 ID 가 3:4 가 나온다.
사실 이 기하학 정리를 사용하지 않고도 풀수 있긴 하다. 넓이비를 가지고 식을 세워서 연립하면 된다.
밑변의 길이가 1:2 인 걸 아니까 삼각형의 넓이들을 일단 x,y 를 이용해 도입하자. 그러면 일단 위 그림은 자연스럽게 기술된다.
삼각형 CAF 와 삼각형 CFB 의 넓이비도 1:2가 될 것이니까 [높이는 같으니 넓이는 밑변 길이에 비례]삼각형 CAF 의 넓이는 3y+x 가 되고 결국 삼각형 CIA 의 넓이는 3y 가 된다. 삼각형 CAD 에서 AI, AD 는 밑변이고 높이는 같으니 결과적으로 이는 AI 와 ID 의 길이 비율이 3:4 라는 것을 말해준다.
그리고 삼각형 CAD 와 BAD 를 비교해보자 이 두 넓이의 비가 2:1 이 되기 때문에 y=2x 란 것이 주어진다.
게다가 삼각형 AFC 로부터 FI 와 IC 의 길이의 비가 x: 3y 가 된다는 것이다. 이 말은 즉 FI : IC 가 1: 6이 된다는 것.
이는 결과적으로 AG: GD 가 6대 1이라는 것이 되고 다 조합하면
AI : IG : GD 가 3:3:1 이 된다는 것을 의미한다.
이 길이비가 주어졌으면 사실상 넓이비는 다 주어진거라 봐도 무방하다.
일단 전체삼각형의 넓이는 3x+9y = 21x 이다.
전체 삼각형의 넓이가 1이라고 하면
여담...
조금 더 오랜 조사를 통해 이 문제의 원형을 찾았다. One-seventh area triangle 문제라 불리며 잡지에 풀린 풀이는 아마 De Villiers 의 풀이라고 한다. 파인만의 저녁 식사에서 나온 문제라는 설이 있어 파인만의 삼각형이라고도 불린다고 하는데 문제 원형을 알고 나면 자료 찾기는 더 쉬워졌다 ㅋㅋㅋㅋ
원래는 이것보다 좀 더 어렵게 일반화가 될 수 있는 듯 하다.
단 p>2, 이러면 안에 있는 삼각형과 전체 삼각형의 비는 (p-2)^2 /(p^2 - p+1) 이라고 한다.
의외로 이 아티클 의 증명은 간단했다. 정삼각형으로 가정하고 코사인 법칙을 사용해서 길이를 구하고 닮음과 대칭성을 이용하면 쉽게 넓이비를 구할 수 있었다. [사실 굳이 정삼각형으로 가정안하고 앞에서 내가 풀었던 방식을 그대로 사용해도 같은 결과를 보일 수 있다. ]
참고로 이 넓이비 문제를 삼각형이 아닌 사각형에도 확장할 수 있다고 한다.
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
사실 이 문제를 뉴턴 잡지에서 처음 봤을 때, 중학교 때 풀어본 문제여서 별다른 생각 없이 선택한 거였는데, 어제 하도 안 풀려서 머리싸매고 생각하고 또 생각하다가 잡지의 증명이 맞기 위해서는 저 길이비가 만족되어야 하고 저 길이비를 만족시키는 방법을 생각하는 식으로 사건이 전개됬다.
현재 내 지식으로 저 길이비를 보이는게 쉽게 생각나지 않아서, 문제를 풀었던 중학교 시절의 나의 배경지식이 뭐였는지 생각 또 생각하다가
아, 그 때는 작도 이런것들도 공부했었지 하고 그 당시 공부했던 참고서를 찾다가 메넬라오스의 정리를 발견하고 그 뒤에야 겨우 해결했다.
메넬라우스 정리, 체바 정리, 제르곤 정리, 스튜어트 정리, 파푸스 정리
ㅋㅋㅋㅋ 실력 정석에 예제 문제로도 등장하기도 하는데.....
아무튼 ㅋㅋㅋ 오랜만에 뻘뻘 땀을 흘렸다 ㅋㅋㅋ
하도 진땀을 흘려서 오랜만에 학원 강사를 하고 있는 친구한테 문자를 했다. ㅋㅋㅋ 알고보니 이 문제는 중학교2학년 참고서에 표시 하나 바꾸지 않고 똑같이 등장한 문제였다. ㅋㅋㅋㅋ 내가 중학교 때 풀었다는 기억이 틀린게 아니었군 ㅋㅋㅋㅋ 근데 중학교 때 풀었는데 왜 지금은 못풀까 ㅋㅋㅋ [하이레벨[지금은 최고급 수학으로 아마 이름을 바꾼듯] 에이급수학에 있는 문제라고 한다.]
ㅋㅋㅋㅋㅋ
이전의 수학 퀴즈에서 디락이 등장한 적이 한번 있었는데, 그 때가 딱 작년 크리스마스 시즌이었다. 해당 포스팅 이번엔 파인만인가? ㅋㅋㅋㅋ