지난번 포스팅에 이어 Raychaudhuri equation 의 Null version 에 대해 유도해 보려고 합니다.
이 식을 유도하고 싶은 거죠 ㅎㅎ
Construction of Null parametrization
먼저 null 매개변수화를 해봅시다. (k: null vector)
여기에 보조 null vector 인 N^a 를 도입합니다. null vector 이기에 제곱하면 0이 되지만 k 와의 곱에서는 0이 아닌 값을 갖게 됩니다. 이 값을 normalization 하여 -1 이라고 하겠습니다.
이전 포스팅에 time 에서는 u^a 를 썼다면 여기서는 k^a 를 사용하게 됩니다. 여기서의 문제점은 앞선 u_{a;b} 의 경우 이 값이 u^a 와 orthogonal 했다면 k_{a;b}의 경우 k^a 와 orthogonal 하지만 N^a 와는 그렇지 않습니다. 즉 B_{ab} 를 더이상 같은 방식으로 분해하지 못한다는 거지요.
이전 포스팅에서 h는 u^a 와 수직한 3차원 metric 이었습니다. null 의 경우에는 k^a 와 N^a 에 수직한 것들을 다루기에 2차원 h를 정의할 필요가 있습니다.
h_{ab} h^{ab} 를 계산해 보면 위의 경우 2가 나온다는 것을 알 수 있습니다. 즉 k^a 와 N^a 에 동시에 수직인 2차원 metric 이라는 것을 확인 할 수 가 있습니다. 이 Null version 에서는 이 metric 이 아주 큰 역활을 합니다.
Decomposition of vector
일단 정의들을 적어보도록 하죠
앞서 말했듯이 이 B 는 N^a 와 수직하지 않기 때문에 k^a와 N^a 에 모두 수직한 tilde B 를 가지고 vector decomposition 을 해보려고 합니다. tilde B 의 경우 h 와 contraction 을 통해 정의가 되어 있고 이 h 가 k^a 와 N^a 에 모두 수직함으로 정의 자체에서 tilde B 가 k^a 와 N^a 에 수직하다는 것을 알 수 있습니다.
이런 정의 하에서 tilde{B} 의 제곱은 다음과 같은 형태를 갖습니다.
tilde theta 에 대해서 explicit computation 을 해보면
뒤에 있을 curvature 계산은 k 에 대한 계산이기에 B 제곱과 tilde B 제곱 사이의 관계를 알아둘 필요가 있습니다.
마지막 부분에서 geodesic condition (dot{k} =0) 을 사용했습니다. 즉 B제곱과 tilde B 제곱이 같은 값을 가진다는 것을 알 수 있습니다.
Curvature
null vector k^a 에 대한 curvature 를 써보면
일단 좌변의 성분들을 전개해 보도록 하죠
이 식을 대입하면
여기까지 유도 과정 중에는 geodesic condition 이외의 조건은 사용하지 않았습니다. on-shell 에서 앞선 포스팅 과 같은 방법으로 계산을 해 보면
앞선 식의 1/3 대신 1/2 이 들어가는 것 빼고 같은 형태를 가진다는 것을 확인 할 수 있습니다.