ㅋㅋㅋ 오늘은 수지(SUSY)에 대해서 알아보려고 한다.
수지 하면 무엇이 떠오르는가? 내가 알아볼 수지는
이 수지는 아니고
이 수지도 아니고
바로 이 수지다.
(여담으로 이 책은 현대적 관점에서 다룬 supersymmetry 책이다. 물론 대다수는 아마 여전히 사랑받는(?) Wess and bagger 책[1-7장까지만 보고 넘긴다는 그 책]으로 공부를 시작하지 않을까 싶다. 일단 계산을 할 줄 알아야 뭐 이해를 하던가 할테니란 말로 시작하는 책 [이런 생각을 가진 사람들이 많다... 나 또한 그랬고...] 후에 여러가지 수지 책이 나왔지만 개념면에서는 Terning 책이 가장 괜찮지 않나 싶다. )
한 때, 나한테 수지하면 떠오르는 것이 머냐고 물었을 때 바로 이 super-symmetry, 줄임말로 susy 라 부르는 이 용어만 떠올랐다. 물론 지금은 첫번째 수지가 거의 수지의 대명사가 되어버렸지만 ㅋㅋ 오늘은 저 연예인 수지들이 아니라 이, 대칭성과 관련된 수지를 이야기 해볼까 한다. 간단히 말하면 수지 우리 말로는 초대칭, supersymmetry 은 페르미온과 보존 사이의 대칭성을 말한다. 이 초대칭은 여러가지 의미에서 물리나 수학에서 많이 쓰이는데 오늘은 초대칭 이야기 해보려고 한다.
ㅋㅋ왜 저 연예인 수지를 꺼냈냐, 한번 친근감의 표시? 에서 꺼냈다. ㅋㅋㅋ 연예인에 대해서 관심이 거의 없던 예전에[ㅋㅋ 사실 지금도 그렇다] 이런 일화가 있었다. 늦은 저녁 아마 오후 11시쯤 으로 기억난다, 친구 A 와의 산책 중 이런 대화를 했던 기억이 난다. 얼추 흐름은 이런 식이었는데 왜 이 이야기가 나왔는지 상황 이야기는 기억이 나지 않는다. 약간의 각색하에 대화를 이어가보면
A: 너 수지 아냐?
나 : ㅇㅇ 요즘 보고 있어, 핫한 분야라고 들었지
A: 니가 그런것에도 관심이 있었냐?
나 : 그럼 수지는 아름답지, 자연은 역시나 아름답지
A: 니가 수지에 관심이 있다니 놀라운데?
나: 그래? 80년대 부터 사람들이 파고 있다는데
A : 요새 등장한 그룹인데?
나: 무슨 이야기야, 처음 등장한게 79년도일텐데?
A : 너 무슨 말 하는거야?
나: 뭐긴 susy 지, super-symmetry!
뭐 그 당시에는 TV 를 못봤고 봐도 국내가 아닌 미국 프로그램에 관심이 있었으니까... 아무튼 이 후 연예인 '수지'를 알게 됬고 TV 에서 많이 나오더라. 팬은 아니더라도 이제 사진과 이름이 매칭될 정도니 ㅋㅋ 아직도 아이돌과 연예인은 너무나 어렵다. 중고교 때에는 그렇게 무한도전이랑 예능 프로그램을 챙겨봤었는데 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 요새는 JTBC 뉴스룸이랑 몇개의 드라마만 ㅎㅎ
아무튼 다시 과학 이야기로 돌아가보자. Maxwell 과 Noether 이후로 물리학자들은 어떤 이론을 찾으면 거기에 대응되는 대칭성을 찾아왔다. [거꾸로 말할 수도 있다. 어떤 특정한 대칭성을 만족하는 이론을 찾아왔다. 소위 말하는 1st priniciple 로써 대칭성을 신봉해왔고 지금도 여전히 각 이론의 대칭성을 중요하게 생각한다.] Gauge group 에 대한 대칭성으로 부터 표준모형이라는 것을 도출해냈고 여기서부터 또 다양한 이론들을 설계해 왔다.
[멕스웰의 4 방정식, 대칭성 원리의 중요성을 처음으로 시사했다. 여기서 말하는 대칭성은 Electro-magnetic 대칭성으로 후에 strong-weak duality, S-duality 로 확장 되기도 한다]
[ Emmy Noether, Noether theorem 으로특정 시스템의 대칭성과 그 대칭성에 관한 conserved charge 이론으로, 근현대 물리의 근간이 되는 정리를 만든 분이다]
그 중 가장 성공한 모델인 표준모형의 가장 큰 문제점으로 지목되는 것은 바로 Hierarchy problem 이라는 문제인데, 간단히 말하면 왜 자연계의 힘의 위계질서가 생기냐는 문제이다. 이를 설명하기 위해 사람들은 많은 개념들을 만들었고, 그 중 몇개는 아직도 살아남아 다른 이론들의 뿌리가 되고 있다. 그 중 강력한 이론 중 하나가 초대칭을 이용한 이론이다.
[표준모형, 예전에 표준모형에 관해 썻던 글 ]
초대칭은 앞서 말한 것 처럼 간단히 한문장으로 말하면 보존과 페르미온의 대칭성을 말한다. 즉 어떤 입자가 있으면 거기에 대응되는 super-partner particle 이 있다는 것이다. 이런 관점에서 봤을 때 표준모형에서 생기는 발산 항을 이 super-partner particle 이 상쇄시켜 준다. 좀 더 엄밀하게 말하면 양자장론에서 particle 의 mass 를 구하는 One loop correction 에서 particle 과 super-partner 에 의한 효과가 정확히 상쇄가 된다는 말이다. 이 강력한 결과로 인해 많은 사람들은 초대칭 이론에 빠져들었고, 표준모형에다 supersymmetry 를 추가하는 이론들이 많이 생기게 되었다. MSSM(Minimal supersymmetric standard model)이나 NMSSM(Next-to-Minimal Supersymmetric Standard Model)등등 현상론을 공부하다 보면 많이 등장하는 이 이론들의 근간은 바로 초대칭을 도입하는 것이다.
이런 초대칭 이론들의 가장 큰 문제점은 각각의 super-partner particle 이 도입됨으로써 입자가 너무 많아진다는 점과, 이 super-partner particle 의 에너지 스케일이 커서 실험으로 발견하기 힘들다는 점이 있다. 또 현실에서 이런 super-particle 들이 발견되지 않아 supersymmetry 가 어떤 에너지 scale 에서 깨져야 하는데 이에 대한 설명도 필요하다는 점 등이 있다. [물론 Spontaneous symmetry breaking 처럼 supersymmetric version 도 있다. ]
앞서 일단 현상론적 접근법에 대한 이야기를 했다. supersymmetry 는 위의 문제점이 있지만 다른 의미에서 또 엄청난 장점이 있다. 바로 이 초대칭을 이용하면 섭동적 방법을 넘어선 정확한 계산을 할 수 있다는 점이다. 일반적으로 물리 이론은 그 이론을 기술하는 coupling constant에 의미가 있다. 무슨 말이냐 하면 약력의 경우 이 coupling constant 가 작기 때문에 perturbation theory 를 이용하여 근사적으로 거의 모든 계산을 할 수 있지만 [perturbation series 는 coupling constant를 기반으로 전개가 되며 이 상수가 작으면 작을수록 higher order term 이 주는 영향은 작아지게 된다. 0.1과 (0.1)^2, (0.1)^3 이런 식으로 전개하게 되면 어느 순간 앞 항보다 매우 작은 영향을 준다는 것을 쉽게 확인 할 수 있다. ] 강력의 경우에는 이 couping constant 값이 매우 크기 때문에 이런 perturbative approach 는 정확성이 많이 떨어진다. 즉 perturbation approach 는 이 coupling constant 에 의존한다는 것을 알 수 있다. 여담으로 강력, 즉 핵력에 대한 모델은 수백 가지가 넘으며 아직까지 말이 많다.
여하튼 초대칭 방식을 이용하면, strongly interacting regime 에서도 정확한 계산을 할 수 있게 된다. [해당되는 발산을 super-partner 를 도입해서 상쇄 시켜버린다.] 또한 수학적으로도 초대칭 이론은 매혹적이다. 일전에 conformal algebra 에 대한 계산 글을 쓴적이 있는데 여기서 cft 를 일종의 qft 의 generalization 이라고 설명했었다. 도식화 하기가 머하지만 CFT= QFT+ Dilation + special transformation, 이라 한다면 SUSY = QFT+ extra 라고 할 수 있다. 물론 CFT 의 supersymmetrized version 인 SCFT, superconformal field theory 가 있고 각종 수학 이론과 물리 이론에 이 SCFT 는 많이 적용되어 연구가 되고 있다. 대표적인 예로 M-theory 를 연구하기 위해 6d SCFT 를 연구하기도 하고, 수학적으로 coset 모델이나, representation theory 에도 많이 쓰이고 있다. 초대칭 대수도 초대칭의 갯수와 dimension 에 따라 다양해진다.
이런 저런 의미에서 많은 사람들은 초대칭에 공부하고 연구하고 있다. 이대로 끝내기가 머해서 물리에서 가장 많이 쓰이는 4d N=1 의 경우의 표현식을 적는 것으로 마무리를 해 본다.
여기서 Q 가 supersymmetry 의 generator 이다.