주기함수 (Periodic Functions)

수학에서 주기를 가진다는 것은 굉장히 좋은 조건이다. 왜냐하면 한 주기 내에서 함수의 변화를 관찰하는 것만으로, 정의역 전체에서의 함수의 변화를 알 수 있기 때문이다.

1. 들어가기에 앞서서

여기서 이야기할 모든 함수들은 정의역과 공역이 모두 실수 전체의 집합 로 한정한다. 즉 의 꼴을 가진다.

2. 주기함수란?

함수 가 주어졌을 때, 모든 실수 에 대해, 를 만족하는 실수 가 존재하면, 이를 함수 의 주기라 한다.

물론, 이러한 수가 유일한 것은 아니다. 예를 들어서 주기가 2인 함수가 있다면, 당연히 2의 정수배인 수들 () 또한 주기이다. 좀 더 자세히 알아보면 다음과 같다.

2-1. 주기들 간의 관계

함수 에 대해, 집합 를 다음과 같이 정의한다.

그렇다면,

성질 1. 항상 을 만족한다. (...!)

성질 2. 만약 를 만족하면, 가 성립한다. (왜냐하면, 이므로)

성질 3. 만약 를 만족하면, 가 성립한다. (왜냐하면 이므로)

이를 정리하면, 집합 는 공집합이 아니며 덧셈에 대한 항등원 0을 원소로 가지고(1), 덧셈에 대해 닫혀있으며(2), 덧셈에 대한 역원이 항상 존재한다(3). 따라서 는 실수 전체의 집합 의 덧셈에 대한 부분군이다!
물론 부분군이라는 개념을 몰라도 전혀 상관없지만 중요한 사실이기에 적어보았다.

2-2. 대표적인 주기함수의 예시

고등수학의 꽃인 삼각함수 와 은 대표적인 주기함수 중 하나이다.

이 둘은 모두 (항상 외워왔듯이) -주기함수이다. 앞선 성질 (2)와 (3)을 조합하면, 모든 의 정수배들 또한 주기임을 알 수 있다. 그렇다면 여기서 이런 질문을 던질 수 있다.

가 보다 작고 보다는 큰 (즉 양수인) 주기를 갖지는 않을까???

물론 그래프를 자세히 들여다보면 개소리라는 것을 알 수 있지만, 혹시 모르니 확인하여 보자. 만약 가 사인함수의 주기라면,
모든 실수 에 대해 를 만족해야 한다. 그렇다면 삼각함수의 덧셈정리에 의해

를 만족해야 하고 따라서 (은 정수) 꼴 이어야한 만다. 즉, 를 만족하는 주기 는 존재하지 않는다.

2-3. 예시가 의미하는 바??

여기서 중요한 사실은, 앞서 본 사인 (또는 코사인도 마찬가지) 삼각함수의 경우에는 양수의 주기들 중, 최소값이 존재한다는 것이다. 이때 최소값은 앞서 확인했듯이 였다. 그렇다면

모든 주기함수들은 양수인 주기들 중의 최소값을 가질까?

라는 새로운 질문을 던질 수 있다.

3. 기본 주기 (Fundamental Period)

기본주기란, 를 뜻한다. 뜬금없는 정의가 튀어나와 이상하겠지만, 이 식은 정확히 2-3의 논지들을 모두 포함하고 있다.

1. 교집합 은 양수의 주기들을 모아놓은 집합이다. 만약 공집합이 아니라면(???!!!), 항상 하한 (lower bound) 을 가지므로, 완비성 정리 (completeness of real number system)에 의해 무조건 하계 (infimum)이 존재한다. 이것이 바로 .

2. 예시 의 경우, 임을 확인할 수 있다. 즉, 우리의 질문은

모든 주기함수에 대해 을 만족하는가?

로 바뀐다. 이제 이 질문에 대한 답을 해볼 차례이다.

4. 주기함수의 분류 (Classification)

4-1.

먼저 우리가 Section 3에서 무심코 지나친(!) , 즉 양수 주기가 아예 존재하지 않는 경우에 대해 살펴보자. 성질 (3)에 의해, 또한 공집합이 되므로, 성질 (1)에 의해

가 된다. 즉 이 경우 는 주기함수가 아닌 일반적인 함수이다.

4-2.

이제 이고 인 경우에 대해 살펴보자. 하계(infimum)의 정의에 의해, 이고,

을 만족하며 (즉 강한단조감소수열), 로 수렴하는 수열 이 존재한다.

이제 이로부터 얻어진 새로운 수열 을 생각해보자. 이고 각 들이 모두 주기이므로 성질 (2)에 의해 도 주기이다. (다시 말해 . ) 또한 이므로, 이는 이라는 가정에 모순이다. 따라서 어느 항 이상부터는 무조건 을 만족해야 하고 (왜일까요...?) , 따라서 모든 자연수 에 대해, 가 성립한다. 즉 자동적으로 (하계이자 최소값)이 된다.

임의의 원소 를 고르자. 아르키메데스의 성질 (Archimedean property of real numbers)에 의해

가 성립하는 적당한 정수 가 존재하고, 이는 다시 쓰면

가 된다. 성질 (2)에 의해 (즉 주기)이므로, 의 경우 밖에 될 수 없다. 따라서

이다.

4-3.

이제 이고 인 경우에 대해 살펴보자. 먼저 임의의 을 선택한다. 하계(infimum)가 이므로, 을 만족하는 원소 가 존재한다. 임의의 원소 에 대해

을 만족하는 적당한 정수 를 잡는다. 그렇다면 성질 (2)에 의해 이고, 을 만족하므로, 집합 은 에서 조밀함을 알 수 있다. 성질 (3)에 의해 은 에서 조밀하므로, 결과적으로
은 의 조밀 부분집합이다!

4-4. 정리

종합해보면 모든 함수 은 다음 분류 중 오직 하나에 속한다.

분류 1. 주기가 존재하지 않는 일반적인 함수

분류 2. 기본 주기가 존재하며, 모든 주기는 기본 주기의 정수배 꼴로 나타낼 수 있는 함수.

분류 3. 기본 주기가 존재하지 않으며, 주기들의 집합이 의 조밀 부분집합인 함수

앞서 본 삼각함수의 경우 분류 2에 속함을 알 수 있다!

5. 우리의 원래 질문으로 돌아가서...

그렇다면 우리의 질문은 모든 주기함수는 분류 2에 속하는가? 인데, 허무하게도 굉장히 쉬운 반례가 존재한다. 바로 상수함수이다... 상수함수는 모든 실수를 주기로 가지기 때문에 (즉 ) 분류 3에 속하게 된다...

이제 질문을 좀 더 다듬어서,

모든 상수함수가 아닌 주기함수는 분류 2에 속하는가?

에 대한 답을 하여보자. 먼저 이에 앞서 중요한 정리가 존재한다.

5-1. 연속성과 주기에 관한 정리

Theorem. 상수함수가 아닌 주기함수 이 한 점 에서 연속이면, 항상 기본주기를 가진다.

Proof. 모순을 보이기 위해 기본주기를 가지지 않는다고 하자. 그렇다면

이다. 하계 (infimum)의 정의에 의해 이고 을 만족하는 강한 단조감소 수열 이 존재한다.

이제 임의의 를 잡는다. 에서의 연속성은

을 항상 만족하게 하는 양수 의 존재성을 보장한다. 그 다음, 함수

을 정의한다. (단, 를 만족하는 들로 한정한다). 먼저 은 주기이므로, 정의역 전체에서의 상계 (supremum)과 하계 (infimum)의 차는 과 일치해야한다. 그런데 이고 (왜일까요...?)   이므로 결국 는 상수함수일 수 밖에 없다. 이는 모순이며 , 즉 기본주기를 가져야 한다. Q.E.D

5-3. 반례와 결론

앞서 본 정리가 말하는 바의 대우명제는 다음과 같다. (대우는 원 명제와 항상 진리값이 같음!)

만약 어떤 함수가 분류 3에 속한 다면, 정의역 전체, 즉 모든 실수에서 불연속인 함수여야 한다

그럼 이런 함수로는 무엇이 있을까? 가장 유명한 함수로는 디리클레 함수 (Dirichlet Function)이 있다.

여기서 는 유리수 집합을 의미한다. 즉 이 함수는 유리수에서 1, 무리수에서 0의 함숫값을 가진다. 임의의 유리수 에 대해, 가 유리수이면 도 유리수이고, 가 무리수이면 도 무리수이다. 따라서 모든 실수 에 대해

이 성립한다. 즉 로 이미 는 조밀집합이며 분류 3에 속함을 알 수 있다. 또한 의 하계는 0이므로 임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 우리의 질문에 대한 답은 NO!

6. 마지막 질문?

우리가 5-1에서 보았던 정리의 역은 과연 성립할까? 다시 말해서

기본주기를 가지는 주기함수는 항상 연속인 점이 적어도 하나 존재한다.

가 참이 될까? (상수함수가 아님은 자명) 이에 대한 답은 스스로 찾아보길 바란다.