Formeller Beweis zur Unendlichkeit der Primzahlen

Ich habe gerade gemerkt, dass beim Markdown die Funktion zum verkleinern sich wunderbar für Mathe eignet und ihr wisst ja: nach einer langen Pause von mir muss erstmal ein Beweis daher!

Angenommen die Menge der Primzahlen P mit p₁-p_n ∈ P sei endlich.

p₁ * p₂ * p₃... * p_n = c

c + 1 ist nun eine "neue" Primzahl, da für jedes p_i mit i ∈ N gilt 2p_i > p + 1
(oder sauberer jp_i * p_i > jp_i + 1 mit j ∈ N beliebig )

Da wir eine neue Primzahl mit der Eigenschaft c + 1 nicht ∈ P haben, wurde unsere Annahme, dass die Zahl der Primzahlen endlich ist, add absurdum geführt und wir wissen nun, dass das Gegenteil wahr ist: Die Menge der Primzahlen ist undendlich.

Als kurze Erläuterung: N ist die Menge der natürlichen Zahlen und die Beweisführung, bei der man das Gegenteil der Behauptung annimmt und es zu logischen Widerspruch führt, nennt man Widerspruchsbeweis

Ich liebe diesen Beweis weil es erstmal unmöglich erscheint Unendlichkeit zu beweisen, aber in der abstrakten, konstruierten Welt der Mathematik ist dies ein Kinderspiel, naja wenigstens wenn man sowieso immer gerne die Primfaktorzerlegung in Beweisen benutzt.