Avant de définir plus en détail ce qu'est un espace vectoriel, il peut être intéressant de s'arrêter sur quelques notions préliminaires, dont notamment les lois de composition internes et externes.
Je vais essayer de vulgariser la chose sans rentrer dans des complications inutiles.
Prenons l'ensemble N des entiers naturels et une opération, par exemple l'addition. Si j'additionne deux nombres dans N, je retombe automatiquement sur un entier naturel. Cette propriété s'appelle une loi de composition interne. De façon un peu plus formelle :
Soit E un ensemble et * une opération. Une application * du produit cartésien E x E dans E est une loi de composition interne (ça c'est pour les puristes).
Dit simplement avec des mots, si vous prenez deux éléments dans un même ensemble et que vous les composez à l'aide d'une opération et que vous restez à l'intérieur de cette ensemble, alors vous avez une loi de composition interne. Facile non ?
Prenons un contre-exemple, la division dans l'ensemble N. Eh bien ce n'est pas une loi de composition interne. Par exemple 1/3 ne donne pas un entier. Pire, 1/0 n'est pas défini.
Prenons maintenant deux vecteurs dans l'espace R3 : u(a,b,c) et v(x,y,z). Que se passe-t-il si on les additionne ? Soit w = u + v = (a+x,b+y,c+z). Le vecteur w est toujours, trivialement, un vecteur de R3 donc nous sommes en présence d'une loi de composition interne.
Si nous multiplions u et v, alors nous savons que par définition, le produit scalaire de deux vecteurs vaut ici : uv = (ax + by + cz) = (R), qui est un réel et nous n'avons donc pas une loi de composition interne (preuve qu'il faut se méfier des apparences).
Intéressons-nous maintenant aux lois de composition externes. Soit E un ensemble de référence et F un autre ensemble. Si nous composons un élément de E avec un élément de F et que nous retombons dans E, alors nous avons une loi de composition externe.
Soit a(x,y,z) un vecteur de l'espace R3 et i > 1, un réel dans R. Considérons la multiplication de i par a. Que se passe-t'il ? Nous avons en fait étiré notre vecteur, qui est par ailleurs toujours un vecteur de R3, de la forme (ix,iy,iz). Ceci est donc une loi de composition externe.
Attention car ici, si nous changeons l'opération et que nous prenons la somme de i et de a, alors cette dernière n'est pas définie.(on ne peut pas additionner un réel et un vecteur). Ceci ne donne par conséquent pas une loi de composition externe.
Si vous vous demandez à quoi servent concrètement ces lois, eh bien sachez qu'elles sont très utiles pour définir les structures algébriques. Nous en aurons besoin pour bien comprendre ce qu'est un espace vectoriel.