Powyższą grafikę znalazłem wczoraj na anglojęzycznej wikipedii i tak mi się spodobała, że postanowiłem ją upowszechnić tutaj, wraz z poniższym tekstem "od siebie".
Przedstawia ona tzw. liczby porządkowe (a konkretnie "małe" liczby porządkowe, maksymalnie omega do potęgi omega).
Dla laika niezajmującego się matematyką, nazwa może być trochę myląca.
W szkole dzieci zastanawiają się dlaczego się tak podkreśla, że dodawania czy mnożenie liczb naturalnych/całkowitych/wymiernych/rzeczywistych jest przemienne, łączne czy że istnieje rozdzielność mnożenia względem dodawania. Jednakże jest to bardzo ważne.
Liczby porządkowe zachowują się dużo "dziczej" od liczb szkolnych:
- dodawanie liczb porządkowych nie jest przemienne - tylko liczba porządkowa 0 jest przemienna ze wszystkimi innymi;
- może się zdarzyć, że a+b=b mimo, że a nie jest liczbą porządkową 0;
- z tego, że a<b nie wynika, że a+c<b+c;
- mnożenie liczb porządkowych nie jest przemienne - to akurat jest najmniej zaskakujące, bo w poważnej matematyce mnożenie prawie nigdy nie jest przemienne;
- może się zdarzyć, że a*b=b pomimo, że a nie jest liczbą porządkową 1;
- mnożenie jest rozdzielne względem dodawania tylko lewostronnie;
- za to potęgowanie zachowuje się dość ładnie - podnosząc potęgę do potęgi możemy wymnożyć wykładniki potęg (oczywiście tego iloczynu nie można napisać jakkolwiek, bo mnożenie nie jest przemienne!), a gdy wykładnik potęgi jest sumą możemy rozbić potęgę na iloczyn dwóch potęg (oczywiście nie zmieniając kolejności wykładników, bo dodawanie nie jest przemienne!).
- no i najważniejsze: nie istnieje zbiór wszystkich liczb porządkowych.