Geometria Euklidesowa
"Elementy" Euklidesa są jednym z najsłynniejszych dzieł jakie wyszły spod ręki człowieka. Powstanie datuje się na IV wiek przed naszą erą. Księga ta rozprawiająca o geometrii i arytmetyce kształtowała myślenie wielu wybitnych uczonych jak Newton, czy Galileusz. Stworzona została w formie dedukcyjnej. Euklides przyjął a priori zbiór aksjomatów na podstawie których logicznie wyprowadzał twierdzenia. Wyprowadził on w ten sposób praktycznie całą geometrie i starożytną arytmetykę. Od planimetrii, aż po elementy współczesnej teorii liczb.
Było ich pięć, a potocznie brzmią one tak:
I. Jeżeli mamy dwa punkty, to możemy połączyć je prostą.
II. Jeżeli mamy prostą, to możemy przedłużyć ją nieograniczenie.
III. Jeżeli mamy odcinek, to możemy narysować okrąg o środku w dowolnym punkcie odcinka o promieniu równym temu odcinkowi.
IV. Wszystkie kąty proste są sobie równe.
V. Jeżeli dwie proste przecinają trzecią, w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwóch kątów prostych, to wtedy jeśli wystarczająco się je przedłuży, przetną się.
Pierwsze cztery aksjomaty są przejrzyste i zrozumiałe. Jeżeli chodzi o piąty, możemy mieć co do tego wątpliwości. Przez długi czas matematycy próbowali dowieść, że piąty aksjomat Euklidesa można wywieść z czterech poprzednich. Gdyby odnieśli sukces moglibyśmy wyrzucić go z tej listy, ponieważ nie spełniałby on definicji aksjomatu (aksjomatu nie da się dowieść za pomocą innych założeń). Okazało się później, że nie jest on zależny od innych aksjomatów i został na swoim miejscu. Model geometrii, która za pewniki obiera 5 aksjomatów Euklidesa nazywamy geometrią euklidesową. Stykamy się z nią już w szkole na pierwszych lekcjach matematyki i używamy jej, gdy wybieramy meble do naszego pokoju lub, gdy musimy narysować kwadrat. Charakterystyczną cechą geometrii euklidesowych jest fakt, że suma kątów w trójkącie jest zawsze równa 180 stopni. To ważne. Zapiszmy to sobie w pamięci. Opisuje ona zatem bardzo dobrze nasz codzienny świat. Dowodem na to jest klasyczna mechanika Newtonowska.
Przestrzeń Euklidesowa
Newton unifikując prawa ruchu opisujące ruch kuli armatniej z mechaniką nieba oparł się całą powierzchnią swoich pleców o geometrie euklidesową. Model w którym opisał swoją fizykę umieścił w przestrzeni euklidesowej. Charakterystyczną cechą tej przestrzeni jest jej płaskość. Żeby zrozumieć co to znaczy możemy rozważyć przestrzenie o różnej liczbie wymiarów. Dla przykładu jednowymiarową przestrzenią euklidesową jest prosta, a dwuwymiarową płaszczyzna. Nazywamy ją przestrzenią liniową. Jeżeli narysujemy układ współrzędnych, gdzie każda oś jest do siebie prostopadła, będzie ona przykładem przestrzeni liniowej. Piąty aksjomat możemy zapisać w trochę innej postaci.
Jeżeli mamy prostą, to dla danego punktu można przeprowadzić tylko jedną prostą, taką, że obie są rozłączne.
Oznacza to, że dwie proste równoległe nigdy się nie przetną. Jeżeli nie są równoległe to wystarczy je przedłużyć i w końcu się przetną. Podczas prac nad niezależnością piątego aksjomatu matematycy zauważyli, że gdy zastąpimy go jego zaprzeczeniem, to otrzymamy inny spójny model geometrii. Przy dalszej analizie doszli do wniosku, że istnieją dwie możliwości. Jeżeli mamy prostą, to przez punkt leżący na niej możemy przeprowadzić nieskończoną ilość prostych rozłącznych lub nie możemy przeprowadzić żadnej prostej rozłącznej. Pierwszy przypadek opisali tacy matematycy jak Carl Friedrich Gauss, czy Nikołaj Łobaczewski i stworzyli w ten sposób geometrie hiperboliczną. Drugi przypadek natomiast analizował Bernhard Riemann, twórca geometrii eliptycznej. Są one zatem modelami, które zbudowane są na zmodyfikowanych aksjomatach Euklidesa. Takie geometrie nazywamy nieeuklidesowymi.
Geometria eliptyczna
Model geometrii eliptycznej rezygnuje z piątego pewnika Euklidesa. Wynika z tego, że jeżeli mamy daną prostą, to dla dowolnego wybranego przez nas punktu nie istnieje prosta, która przechodzi przez ten punkt i jest rozłączna z naszą prostą. Znaczy to, że każde dwie proste przecinają się w jakimś punkcie. Nie istnieje zatem w modelu tej geometrii takie pojęcie jak równoległość.
Aby zobrazować sobie ten rodzaj geometrii, możemy wyobrazić sobie proste leżące na powierzchni o dodatniej krzywiźnie lub na sferze. Punkt utożsamiamy z parą dwóch punktów antypodycznych (punkty leżące naprzeciw siebie na sferze). Przy tak zdefiniowanym pojęciu punktu, prostej odpowiada zbiór par leżących na kole wielkim, a płaszczyźnie zbiór wszystkich takich par punktów. Odcinek natomiast, to łuk łączący dwa punkty leżący na kole wielkim. A teraz przypomnijmy sobie jaka była suma kątów w trójkącie w geometrii Euklidesowej.
W geometrii eliptycznej suma kątów jest zawsze większą niż 180 stopni! (trójkąt na powierzchni sferycznej ma zakrzywione boki na zewnątrz).
Geometria hiperboliczna
W modelu hiperbolicznym nie rezygnujemy z piątego aksjomatu, lecz modyfikujemy jego treść w sposób następujący.
Jeżeli mamy prostą i wybierzemy dowolny punkt, to przez ten punkt przechodzą co najmniej dwie proste nie mające wspólnych punktów z naszą prostą.
W przeciwieństwie do geometrii eliptycznej model hiperboliczny posiada ujemną krzywiznę. Wyobraźmy sobie powierzchnie w kształcie siodła. Z założeń modelu hiperbolicznego wynika wiele własności całkowicie odmiennych niż w geometrii euklidesowej. Przykładowo dla dowolnego kąta istnieje prosta, która jest równoległa, do obu jego ramion. Punkt interpretowany jest w sposób klasyczny, a prosta to łuk, który prostopadły jest do brzegu koła. Płaszczyzna w geometrii hiperbolicznej, definiowana jest jako koło bez brzegu, a odcinek to fragment łuku prostopadłego do brzegu koła, który zawarty jest pomiędzy dwoma punktami. Co do trójkątów natomiast:
W geometrii hiperbolicznej suma kątów w trójkącie jest zawsze mniejsza niż 180 stopni!
Dziękuję za poświęcenie uwagi i zapraszam do innych artykułów.