Wyobraź to sobie. Wymiary przestrzenne.

Mamy zaszczyt żyć w świecie, który jawi nam się jako trójwymiarowy. Każdy obiekt charakteryzujemy poprzez podanie jego długości, szerokości, oraz wysokości. Są to tak zwane wymiary przestrzenne. Wyróżniamy jeszcze wymiar czasowy bez którego trudno wyobrazić sobie naszą egzystencje, lecz zajmiemy się dziś opisem wymiarów dzięki którym jesteśmy w stanie badać geometrie. Jesteśmy przyzwyczajeni do sposobu w jaki obserwujemy świat. Zazwyczaj nie zastanawiamy się co by było, gdybyśmy żyli w świecie o innej liczbie wymiarów. Zacznijmy zatem od początku.

Pojemność wymiarowa

Świat 0-wymiarowy

Wyobraźmy sobie świat, który nie posiada żadnego wymiaru przestrzennego. Szybko zauważymy, że jest on po prostu nudny. Nic się w nim nie dzieje, ponieważ nic się dziać nie może. Możemy przedstawić go za pomocą punktu geometrycznego, który jak wiemy nie jest scharakteryzowany przez żaden wymiar. Nie jest to zatem świat, nad którym możemy przeprowadzić głęboką analizę. Praktycznie to co napisałem to wszystko. Przejdźmy zatem do ciekawszych przykładów.

Świat 1-wymiarowy

Jeżeli mamy dwa punkty i połączymy je, otrzymamy wtedy prostą. Jest ona naszym przykładem jednowymiarowego świata. Zauważmy, że istnieje w nim możliwość poruszania się w prawo i w lewo, ponieważ możemy scharakteryzować długość prostej. Jest zatem ciekawsza od punktu, co pozwala nam na głębszą analizę. Wyobraźmy sobie jednowymiarowe istoty (nazwijmy je liniaki) żyjące w jednowymiarowym świecie bez brzegów (linia obustronnie nieograniczona). Jak wygląda ich życie? Strasznie nudno! Załóżmy że posiadają oczy na obu końcach swojego ciała. Jedyne co widzą przez całe swoje życie to oczy swoich sąsiadów. Nie mogą ich ani obejść, ani przeskoczyć, ponieważ posiadają tylko długość, a do tego potrzebne byłyby dodatkowe wymiary. Poruszają się tylko w prawo i w lewo. Niezbyt bogaty wachlarz ofert ale to i tak dużo lepiej niż w świecie 0-wymiarowym, w którym nie można było zrobić praktycznie nic! To tak jakby świat 1-wymiarowy składał się z nieskończonej (jeżeli linia jest nieograniczona) ilości światów 0-wymiarowych. Ukułem tutaj termin pojemności wymiarowej. Możliwe że już taki istnieje, lecz się z takim nie spotkałem a przynajmniej nie pamiętam. Jeżeli zatem długość linii którą jest świat 1-wymiarowy wynosi n to wtedy składa się on z n 0-wymiarowych światów (nie wchodząc w szczegóły zbiorów przeliczalnych i nieprzeliczalnych).

Świat 2-wymiarowy

Załóżmy, że jeden z liniaków odkrywa w swoim jednowymiarowym świecie, że może zanurzyć się w jakimś drugim dziwnym wymiarze. Może on dzięki temu przesuwając się po prostu w drugim wymiarze widzieć wszystkie inne liniaki (przesuwa się w bok). Nie jest on dzięki temu ograniczony do oglądania swoich sąsiadów przez całe życie. Dzieją się jednak dziwne rzeczy w świecie liniaków. Liniak, który nie odkrył drugiego wymiaru, a za sąsiada ma tego, który może się w nim zanurzyć, zauważy nagle, że jego sąsiad znika. A potem pojawia się na przykład po jego drugiej stronie. Jest to dla liniaków nie zrozumiałe, ponieważ wiedzą, że nie mogą omijać swoich sąsiadów. Co więcej liniak zanurzony w drugim wymiarze widzi wnętrzności swoich kompanów! (liniaki, nie mają skóry, która zakrywa ich wnętrzności między jednym, a drugim okiem, ponieważ nie mają szerokości, ani wysokości!). Świat 2-wymiarowy to po prostu płaska dwuwymiarowa przestrzeń, niczym kartka papieru, której grubość wynosi zero. Tak ją sobie wyobraźmy. Dodatkowo jest nieograniczona.

Istoty żyjące w dwóch wymiarach będą posiadać, długość i szerokość (nazwijmy je płaski). Jak liniaki będą widzieć płaski? A będą je widzieć tak jakby były linią, która pojawia się na jakiś czas zależny od prędkości przechodzenia płaska przez 1-wymiarowy świat, która po pewnym czasie zniknie. Oczywiście jak wcześniej świat 2-wymiarowy jest dużo bogatszy o nowe możliwości niż świat 1-wymiarowy. Jeśli 2-wymiarowy świat ma długość i szerokość równą n, to składa się on z n 1-wymiarowych światów i n^2 0-wymiarowych (n*n). Płaski żyją sobie na płaszczyźnie i to jest ich świat, który jest dla nich czymś normalnym. Nie mogą skakać, bo nie mają wysokości, a jeżeli natrafią na zabudowanie, to muszą omijać je idąc wokół. Płaski też nie zdają sobie sprawy z istnienia innych wymiarów, do czasu, aż jeden z nich odkrywa, że może skakać!

Świat 3-wymiarowy

Co się stanie, gdy płaska zanurzy się w trzecim wymiarze? Podobnie jak wcześniej zobaczy cały swój świat z góry! Będzie mogła przechodzić przez płaskie ściany zabudowań, pojawiać się w 2-wymiarowym świecie i nagle znikać, będzie mogła widzieć wszystko na raz w jednym czasie. Niczym Bóg 2-wymiarowego świata. My jesteśmy takimi istotami wyższymi dla płasków żyjących w 2-wymiarowym świecie. Gdybyśmy obserwowali taki świat, widzielibyśmy wszystko w każdej chwili. Każdą czynność każdego płaszczaka, czy ich wnętrzności.

A jak płaski mogłyby zaobserwować przedmioty trójwymiarowe w swoim dwuwymiarowym świecie? W zależności od kształtu trójwymiarowego przedmiotu, gdyby przechodził on przez świat płasków, zaobserwowaliby oni zmieniającą kształt linię (wyobraźcie sobie jak kula przechodzi przez płaską kartkę, a na jej powierzchni pojawia się powiększające się koło, które po pewnym czasie się zmniejsza i znika). Świat 3-wymiarowy jest zatem jeszcze bardziej pojemny niż świat 2-wymiarowy. Gdy 3-wymiarowy świat ma długość, szerokość i wysokość równą n, to składa się on z n 2-wymiarowych światów, n^2 1-wymiarowyh światów i n^3 0-wymiarowych światów. Jest zatem przeogromnie bardziej pojemny i bogatszy niż światy o mniejszej ilości wymiarów. A co jeśli odkryjesz jutro, że możesz zanurzyć się w czwartym wymiarze przestrzennym?

Świat 4-wymiarowy

To byłoby coś. Biorąc pod uwagę co się działo przy zwiększaniu wymiarów w poprzednich światach, tutaj też możemy wnioskować, że będzie podobnie. Jeżeli zanurzyłbyś się w 4-wymiarowym świecie. Widziałbyś po prostu wszystko. Wszystkich ludzi w Twoim otoczeniu, niezależnie czy są za ścianą czy nie. Mógłbyś pojawiać się w naszym świecie i znikać. Mógłbyś przechodzić przez ściany i widziałbyś wnętrza naszych organizmów. Nie umiem sobie wyobrazić jak wyglądałyby istoty 4-wymiarowe, które przenikałyby przez nasz świat. Byłby to zapewne jakiś skomplikowany zmieniający się kształt, który pojawiłby się i za chwilę zniknął.

Dziękuję za poświęcenie uwagi. Mam nadzieję, że ten krótki artykuł wywołał w Tobie pozytywne emocje.