En esta oportunidad quiero tratar el caso del cono elíptico como una superficie cuádrica, tocando sus aspectos geométricos, gráfico en tres dimensiones y algunas aplicaciones. Ya con la explicación de esta cónica cierro el capítulo dedicado a las superficies cuádricas, hasta el momento y con la explicación del cono elíptico se han tratado seis tipos de cónicas, que entre todas conforman el conjunto de superficies cuádricas.
Definición y ecuación cartesiana del cono elíptico
Desde el punto de vista de geometría analítica, podemos definir al cono elíptico como la figura geométrica que se obtiene del conjunto de puntos conformados en el espacio tridimensional que verifican una ecuación del tipo cuádrica respecto a un sistema de coordenadas cartesianas, por lo que podemos decir que la ecuación cartesiana del cono elíptico es:
Entre las particularidades geométricas más destacadas está:
Se considera al cono elíptico como una figura geométrica de superficie irregular, ya que si llegamos a quitar su vértice, esta figura se convierte en una superficie regular sin conexión con su otra parte, mientras que al mismo tiempo queda abierta.
El cono elíptico se considera como una superficie reglada, ya que esta superficie cuádrica se puede generar por el giro de una recta alrededor de un eje en uno de los planos cartesianos.
Un cono elíptico se considera de características desarrollables, ya que se puede desplegar sobre uno de los planos que lo contiene o lo que se traduce a que su curvatura gaussiana es nula, es decir igual a cero.
Trazas del cono elíptico en los planos cartesianos xy, xz e yz
- Traza en el plano xy:
Si z = 0 implica que en este plano cartesiano se gráfica una elipse, por lo que la ecuación resultante es:
Es necesario que estemos consciente de que para que podamos graficar esta elipse en el plano xy, consideremos a esta ecuación igualada a uno y no igualada a cero, ya que si queda igualada a cero solo nos daría la gráfica de un punto en el plano xy, esto se logra entender en el concepto de curvas de nivel, que no es más que cuando z= k, es decir cuando z toma valores igual a una constante.
- - Traza en el plano xz:
Si y = 0 implica que en este plano cartesiano se gráfica una hipérbola que tiene la siguiente ecuación:
Al igual que la traza del plano xy, en la traza de este plano también hay que considerar la teoría de superficies de nivel, para poder graficar la hipérbola resultante.
- - Traza en el plano yz:
Si x = 0 implica que en este plano cartesiano se gráfica una hipérbola que tiene la siguiente ecuación:
Al igual que la traza del plano xy y el plano xz, en la traza de este plano también hay que considerar la teoría de superficies de nivel, para poder graficar la hipérbola resultante.
El eje en el que se gráfica el cono elíptico corresponde a la variable de signo negativo, las trazas efectuadas en los planos coordenados paralelos al eje del cono elíptico son rectas que se cortan.
Gráfico tridimensional del Cono Elíptico
Para observar ciertas características tridimensionales del cono elíptico, me planteo como objetivo principal graficar el cono elíptico mediante el uso del software geogebra, para ello se introduce la siguiente ecuación cartesiana:
Aplicaciones del cono Elíptico
El simple hecho de que las secciones cónicas, sean las derivadas de la intersección de un plano con cualquier parte de un cono, implica que el cono elíptico sirva de base e inspiración para otras secciones cónicas cuadráticas como la elipse, hipérbolas y parábolas.
Por simple deducción lógica, si la mayoría de las superficies cuádricas, en su mayoría tienen una alta influencia en la ciencia (en seguir y calcular la órbita de planetas en el universo), tiene una fuerte influencia en la aplicación en la construcción y la arquitectura, en el uso industrial, entre otros, entonces en esa misma proporción el estudio geométrico del cono elíptico proporcionará la ayuda para avanzar todo lo referente en los aspectos geométricos para ir fundando bases sólidas para innovar cada vez más en la ciencia y la tecnología.
Bibliografía consultada
- Cálculo con Geometría analítica de Larson y Hostetler. Volumen II. Séptima edición.