Cuando pasamos de un problema de la vida real a un modelo matemático introducimos un error. Esto sucede porque la realidad no se dejará "reducir" fácilmente a una ecuación o a un conjunto de ecuaciones, independientemente de lo sofisticadas que sean.
El precio a pagar por utilizar un modelo matemático se cuantifica por la discrepancia entre la solución real xf y la solución (teórica) xm del modelo matemático. Esta diferencia es el error del modelo:
Por ejemplo, producimos un error numérico cuando nos aproximamos al área debajo de una función, la región en el plano entre el eje x, dos líneas verticales y el Gráfico de una función y=f(x). Aquí xm es el valor exacto, mientras que xn es la aproximación dada por la adición de las áreas de los rectángulos.
Todos los rectángulos rojos tienen una base de la misma longitud pero difieren por la altura, que en cada rectángulo es igual al valor de la función f en el punto medio de su base.
Fuente: @abdulmath, Elaborado con Inkscape.
La solución xm del problema matemático es el área del trapecio azul, mientras que la solución xn del problema numérico es la suma de las áreas de los rectángulos rojos. El error numérico en=xm-xn es la diferencia entre el área azul exacta y el área aproximada.
El error numérico en=xm-xn mide la diferencia entre el área exacta y el área aproximada, y depende de la longitud x de las bases. Es intuitivamente claro que el error se reducirá a medida que x se haga pequeño, o de forma equivalente, como el número de rectángulos aumenta.
También hay situaciones en las que el modelo numérico coincide con el modelo matemático, xn=xm, por lo que el error numérico es cero.
El programa utilizado para implementar el método numérico en un ordenador introducirá más errores er, llamados errores de redondeo, debido a que las operaciones algebraicas realizadas por el ordenador están a su vez afectadas por errores.
El error más complicado de cuantificar es el error em del modelo, ya que depende del problema físico y de cuán bien el modelo matemático adoptado es capaz de representar la naturaleza fielmente.
Es inevitable que la solución computacional sea imprecisa: siempre dará una aproximación de la solución exacta (y rara vez computable) del modelo matemático.
Con este artículo termina la serie de Modelización Te invito a estar pendiente semana a semana de mis publicaciones matemáticas. En mi blog @abdulmath también puedes obtener información de esta área.
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