Tja nun will ich mich auch mal am #MittwochsQuickie und schlechten Wortwitzen zum Thema Bewegung versuchen.

Quicke, Kaninchen und Bewegung

Was passt zu diesen drei Worten? Ganz einfach die Fibonaccifolge. Diese ist nach dem italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci benannt.

Die Folge ist folgendermaßen:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ...

Um sie zu bilden addiert man schlicht zwei vorherige Folgenglieder, um das nächste Folgenglied zu erhalten.

Aber wie kommt man auf sowas?

Fibonacci untersuchte ein Populationswachstumsmodell. Diese Modell ist fiktiv und beschreibt unsterbliche rammelnde Kaninchen. Jetzt kommt richtig Bewegung ins Spiel. In dem Modell setzt sich die „Bewegung“ sogar unendlich fort, da die Kaninchen ja unsterblich sind und sich fleißig fortpflanzen.
Die Fortpflanzung unserer unsterblichen Kaninchen erfolgt nach folgenden zwei Regeln:
Die Kaninchen brauchen einen Monat, um zeugungsfähig zu werden und sie werfen jeden Monat ein neues Paar Männchen und Weibchen.
Befolgt man diese Regeln erhält man die beschriebene Folge, welche der jeweiligen Anzahl der Paare nach n Monaten entspricht.

Da heute der 20. ist,möchte ich euch die Frage stellen wie viele Kaninchenpaare hat man eigentlich nach 20 Monaten, falls man mit einem Pärchen, welches noch nicht geschlechtsreif ist, startet.
Wer mir das zuerst sagen kann bekommt einen SBI-Share.

Wie die Folge Mathematiker bewegt

Jetzt können wir zwar neue Fibonacci Zahlen berechnen, aber das reicht uns natürlich nicht. Wie sähe z.B. die 2018. Fibonacci-Zahl aus? Das würde mit der sogenannten rekursiv Bildungsvorschrift ewig dauern, das zu beantworten. Daher brauchen wir was besseres. Wir brauchen die explizite Bildungsvorschrift.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten diese zu erhalten.
Mir ist neulich aufgefallen, dass es eine recht entspannte Variante gibt, als ich mich mit Rekursionen beschäftigt habe.
Man kann diese nämlich auch ähnlich wie Differentialgleichungen lösen. Und mir fiel auf, dass dies mit der Fibonacci-Folge auch gehen müsste. Es ist sogar vergleichsweise simpel. Also habe ich meine grauen Zellen bewegt. Den Erguss seht ihr im Bild.
Ich habe zuerst die homogene Gleichung mit Hilfe des charakteristischen Polynoms gelöst. Der erste Eigenwert ist erfreulicherweise der goldene Schnitt. Die beiden Eigenwerte noch fix in die Lösungsformel eingesetzt und das Anfangswertproblem gelöst mit den Startwerten der Fibonaccifolge und fertig.

Dass der goldene Schnitt Phi beim lösen auftaucht, ist natürlich kein Zufall, aber das hat mich schon bewegt. ;)

Quellen:

Das Bild habe ich mit GeoGebra erzeug.
https://de.wikipedia.org/Wiki/Fibonacci-Folge