¿Qué tienen en común una central hidroeléctrica, un puente y una autopista desde el punto de vista de la ingeniería económica? La respuesta es que todos son bienes pensados para prestar un servicio de forma indefinida, es decir, “permanente”. En escenarios de este tipo, el concepto de costo capitalizado, que introduciré en esta entrega de Semillas financieras, cobra fuerza.
El costo capitalizado (CC) es el valor presente de una serie de flujos de efectivo con una vida muy larga (35 años o más, en general). Para efectos de cálculo, una vida de tal naturaleza puede considerarse “infinita”. Su ecuación deriva de la fórmula para calcular el valor presente de una serie uniforme, vista en entregas anteriores, al hacer tender a infinito el número de períodos del horizonte de planeación:
Luego, si tomamos el límite cuando “n” tiende a infinito, obtenemos:
Si se despeja “A” de la ecuación anterior, se obtiene la cantidad de “dinero fresco” periódico (generalmente anual) producida por la capitalización de la cantidad CC:
La noción de “vida infinita” puede causar confusión en ocasiones: ¿De qué manera puedo lograr que 10.000 € generen una renta anual fija por siempre?
Si se invierten esos 10.000 € en un instrumento que produzca un retorno del 10% anual, por ejemplo, se podría obtener una renta fija de 1.000 € al año de por vida: si al final de cada año se retiran sólo esos 1.000 €, el capital continuaría en 10.000 € al inicio del nuevo año y volvería a producir los mismos 1.000 € al final del siguiente período anual. La situación se repetiría indefinidamente, ceteris paribus. De esta forma, es posible imaginarse una opción con “vida infinita”.
Cálculo del costo capitalizado
A la hora de evaluar opciones sobre la base de esta técnica, es necesario distinguir primero dos tipos de flujos de efectivo: los recurrentes, que son periódicos, y los no recurrentes, que ocurren una sola vez durante el lapso de estudio, como por ejemplo, la inversión inicial de un proyecto.
Para calcular CC, se procede así:
- Elaborar un diagrama de flujos de efectivo que muestre todos los flujos no recurrentes y al menos dos ciclos de todos los flujos recurrentes.
- Determinar el valor presente de todos los flujos no recurrentes. Este valor representa el CC de esta clase de flujos.
- Identificar todos los flujos recurrentes y calcular su valor anual equivalente (A) durante un ciclo de vida. Este valor será el mismo para todos los ciclos siguientes.
- Dividir A entre la tasa de interés.
- Sumar los valores obtenidos en 2 y 4.
Criterio de comparación. La comparación de dos o más opciones se realiza calculando el CC de cada una. El criterio indica que la más económica es la que exhiba el menor CC, dado que el costo capitalizado representa el valor presente del financiamiento y del mantenimiento requerido para acometer la opción específica, de vida infinita.
Puede también ocurrir el caso de que una alternativa de vida infinita deba compararse con una de vida finita, sobre la base de sus costos capitalizados. Para la opción de vida finita, se calcula “A” en un ciclo de vida y se divide entre la tasa de interés.
Ejemplo 11.1 (Tomado y adaptado del Ejemplo 5-6 de Blank y Tarquin (2007))
La Autoridad de Transporte del Condado de Haverty (HCTA) acaba de instalar un software nuevo para cobrar y registrar las cuotas. El director quiere conocer el costo total equivalente de todos los costos futuros en que se incurre por la compra del sistema de software. Si el nuevo sistema se utilizará por un tiempo indefinido, encuentre el valor equivalente a) actual y b) por cada año de aquí en adelante. El sistema tiene un costo de instalación de 150.000 $ y un costo adicional de 50.000 $ después de 10 años. El costo del contrato de mantenimiento es de 5.000 $ por los primeros cuatro años y 8.000 $ después de éstos. Además, se espera un costo de actualización recurrente de 15.000 $ cada 13 años. Suponga que i = 5% anual para los fondos del condado.
Solución
El correspondiente diagrama de flujos de efectivo se muestra a continuación:
Figura 11.1.
Presentaremos dos tratamientos similares para obtener la solución de este problema. El primero consiste en considerar la serie de cuatro erogaciones de 5.000 $ como no recurrente, porque, de hecho, lo es. El segundo consiste en considerar que la serie de 8.000 $ se convierte en una de 5.000 $ más una de 3.000 $ en los momentos pertinentes. Veamos.
Primer enfoque
La serie de cuatro pagos anuales de 5.000 $ puede considerarse como una serie no recurrente, aunque los pagos que la constituyen no ocurran una sola vez, dado que es una serie finita.
a) Comencemos calculando el valor presente de esta serie uniforme con la ecuación correspondiente:
Procedamos, ahora, con el otro flujo de caja no recurrente:
El costo capitalizado no recurrente total es:
Según lo indica el procedimiento, debemos ahora calcular los valores presentes de los flujos de efectivo recurrentes en un ciclo de vida. Hay recurrencia en la serie de erogaciones de 8.000 $ que inicia en el año 5 y en la serie de erogaciones de 15.000 $ que ocurren cada 13 años. Analicemos cada una.
El primer ciclo de vida de esta opción finaliza a los 13 años, por lo que el primer flujo de 15.000 $ es realmente un valor futuro. Como queremos hallar su valor anual equivalente, aplicamos la fórmula del valor futuro para series uniformes:
Para la serie uniforme de erogaciones de 8.000 $ anuales ya tenemos el valor de A, como es lógico. Sin embargo, la serie inicia en el año 5 y debemos llevar su valor presente en el año 4 (recordar que el valor presente de una serie uniforme se ubica un año antes del primer flujo de la serie) a valor presente del año 0, con el objeto de poderlo sumar con el que acabamos de calcular.
Ahora bien,
Por último,
Segundo enfoque
a) Los flujos de efectivo no recurrentes son, en este caso, la inversión inicial y la erogación de 50.000 $ que ocurre en el año 10. La serie de 5.000 $ anuales se puede considerar infinita si se toma en cuenta que los pagos de 8.000 $ iniciados en el año 5 se pueden descomponer en pagos de 5.000 $ –con lo que se le daría continuidad a la serie de 5.000 $ que inició en el año 0– y pagos de 3.000 $ anuales a partir del año 5. Así, tendríamos una serie infinita que inicia en t = 1, con A = 5.000, y otra en t = 5, con A = 3.000. Además, tendríamos la serie de 15.000 $ cada 13 años. Realicemos los cálculos entonces.
Luego,
De forma análoga al enfoque anterior:
Por último,
Ejemplo 11.2 (Blank y Tarquin, 2007)
Un hombre de negocios próspero quiere comenzar un fondo permanente para apoyar la investigación sobre sustentabilidad. El donante planea dar montos iguales de dinero durante cada uno de los próximos cinco años, más uno ahora (es decir, seis donativos), de modo que puedan retirarse 100.000 $ por año para siempre a partir del año 6. Si el fondo gana un interés de 8% anual, ¿cuánto dinero debe donarse en cada ocasión?
Solución
Figura 11.2.
La figura ilustra el escenario en términos de sus flujos de efectivo. La serie infinita inicia en t = 6, por lo que su costo capitalizado (valor presente) se colocaría en t = 5, tal como se muestra. Ese costo capitalizado vendría a ser el valor futuro de la serie de cinco donaciones más el valor futuro en el año 5 de la donación hecha en t = 0.
El hombre debe donar 170.394,23 $ desde hoy hasta t = 5 para que se pueda disponer de 100.000 $ anuales a partir de t = 6.
Observe que el valor futuro se introduce como negativo en la ecuación, pese a que CC(t=5) se dibuja como una flecha azul hacia arriba. Esto se hace simplemente para que haya consistencia con la convención de signos que hemos estudiado. En principio, CC(t=5) se dibujó hacia arriba porque todos los flujos que lo produjeron fueron dibujados hacia arriba también (100.000 $ cada uno). Sin embargo, bien podría suponerse que ese valor es el resultado de todas las erogaciones realizadas con anterioridad por el donante hasta t=5, por lo que intuitivamente también podría haber sido dibujado hacia abajo y el signo quedaría justificado.
Ejemplo 11.3 (Blank y Tarquin, 2007)
Compare las siguientes alternativas con el criterio de sus costos capitalizados y una tasa de interés de 10% anual.
Solución
Alternativa M
Como la alternativa tiene vida finita, procedemos según lo indica el criterio de comparación antes descrito. El costo de operación ocurrirá al final de cada año por cinco años (incluido el último también porque todo ese año se habrá operado en el momento en que se venda el activo al valor de rescate):
Para hallar el valor de “A”, despejamos de la ecuación del valor presente para una serie uniforme:
Alternativa N
Esta alternativa tiene vida infinita, por lo que el valor de rescate de 1.000.000 $ no aplica.
Al comprar ambos costos capitalizados, observamos que el menor es el de la opción M, por lo que ésta debe ser la que se escoja.
Referencias y complementos
Blank, Leland y Tarquin Anthony (2007): Ingeniería Económica. Séptima edición. Editorial Mc. Graw Hill, México.