INTRODUCCIÓN
En esta oportunidad, estaré demostrando la aplicabilidad de los datos provenientes de un diagrama momento-curvatura, para la obtención del diagrama momento-rotación de un elemento estructural, con la aplicación del método del área de momentos, el cual es de utilidad cuando se desean calcular rotaciones y deflexiones. En la imagen N°01, podemos apreciar las distintas variables que intervienen en la aplicación del método, a través de la idealización conceptual de un caso real.
Imagen N°01: idealización conceptual para la aplicación del método del área de momentos

Entre estas variables, resaltan la curvatura cedente (θy (rad/cm)) , asociada a la cedencia de las fibras extremas de la sección y la curvatura última (θpult(rad/cm)), la cual hace referencia a la plastificación total de la misma. Para una mejor comprensión de la obtención de estos valores de curvatura, te invito que revises mi post (https://steemit.com/sismo-resistencia/@eliaschess333/abordaje-didactico-para-la-obtencion-de-diagramas-momento-vs-curvatura-tomando-como-referencia-un-perfil-de-acero).
Al mismo tiempo, se aprecia en la imagen N°01 la variable “Lp”, que significa “longitud de rótula plástica o articulación plástica”, y tiene que ver directamente con la ductilidad que pueda desarrollar el elemento estructural, es decir, su capacidad de incursión en el rango inelástico.
En líneas generales, estas variables definen las dimensiones de los polígonos, que se generan, y el cálculo del área de estos, permitirá encontrar la rotación ∅(rad), tanto cedente como última que se produce en el elemento estructural, para así determinar la ductilidad del mismo, permitiendo de este modo idealizar un caso real como se aprecia en la imagen N°01, y afianzar así conceptos de importancia en la ingeniería sismo-resistente.
La información que se obtiene en la elaboración del diagrama momento curvatura está referida a un estado de cedencia de la sección, en el que las fibras extremas alcanzan ε_y, y varios estados de progresión de la cedencia hacia las fibras internas de esta, que producen la plastificación total; no obstante, debemos tener muy presentes que la sección no es más que la representación transversal del elemento estructural; por ejemplo en la imagen N°01, se aprecia la viga (elemento estructural), de sección “I”.
Por lo tanto conviene imaginarse ahora una carga “P” que al aplicarse al elemento estructural, incrementándose de forma gradual hasta alcanzar Pu, es capaz de producir la plastificación total en una zona de este, que se extiende a un área de influencia (ver imagen N°02); en ese instante desaparece todo momento resistente, y se alcanzan grandes rotaciones, con pequeños incrementos de esfuerzos, por lo que se está en presencia de una articulación o rótula plástica, y este aspecto puede ser representado gracias al uso de los diagramas momento rotación.
Imagen N°02: articulación plástica

En lo referente a la aplicación del “MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTOS”, conviene aclarar ciertos aspectos conceptuales, provenientes de la estática y que se ilustran en la imagen N°03:
Imagen N°03: diagrama de corte y momento, viga simplemente apoyada, carga puntual en el medio del tramo

Se aprecia en la imagen N°03, que el momento máximo, está ocurriendo en el medio del tramo, producto de la carga puntual P, la cual se incrementará hasta lograr la cedencia y plastificación de toda la sección, cuyo daño se extiende a una zona de influencia; y que todo en conjunto representa una condición de rótula plástica. Partiendo de estos hechos, se ilustra en la imagen N°04, las curvaturas cedentes y última en el medio del tramo, cuyo cálculo es necesario para la elaboración del diagrama momento-rotación, donde se estará aplicando el método de área de momentos, para el cálculo de rotaciones y deflexiones máximas alcanzadas.
Imagen N°04: planteamiento de datos provenientes del diagrama momento-curvatura

Al partir de que en el medio del tramo se está produciendo una articulación plástica, es decir, no hay existencia de momento resistente en esa zona, podemos imaginar el elemento estructural, dividido en dos partes:
Imagen N°05: idealización del concepto de rótula plástica

Este hecho, permite aproximar el problema de una viga simplemente apoyada con una carga en el medio del tramo, a una viga en voladizo, con una carga en el extremo como se ilustra a continuación:
Imagen N°6: simplificación del problema a una viga simplemente apoyada

Al contrastar la imagen N°03 y la N°06, se observa que se alcanza el mismo momento máximo, lo que le da confiabilidad a la simplificación realizada; el propósito de esta simplificación es para ilustrar de mejor manera el tema de la “rótula plástica”, para la posterior elaboración del diagrama momento-rotación, dado que un empotramiento se caracteriza, por impedir desplazamientos y rotaciones; no obstante, al producirse la cedencia, y la plastificación progresiva de la sección, con la consecuente extensión del daño a una zona de influencia (ver imagen N°02) la resistencia al momento va desapareciendo cada vez más, hasta producirse la articulación plástica. En la imagen N°07, podemos observar la representación de los datos de curvatura de la sección, y en la imagen N°08, se especifica una variable clave a definir en la aplicación del método de momento de área como lo es la longitud de la rótula plástica “Lp”. Al respecto señala McCorma (2002) que para un perfil W, esta se extiende a un octavo del claro conforme a la fórmula abajo señalada; y esto aplica a secciones "I" que es el caso en estudio.

Imagen N°08: representación de variables para la aplicación del método de área de momentos

Al analizar la imagen N°08, y por aplicación del método del área de momentos, se deducen las siguientes relaciones:
a.- Estado de cedencia fibras extremas de la sección – comienzo de formación de rotula plástica en el elemento
 y deflexión total (cm), en este estado, se obtiene a través de la suma de áreas y momentos de área de la forma:
.
Tabla N°01: sinopsis de datos del diagrama momento curvatura de la sección

Calculamos la longitud de rótula plástica Lp:

Imagen N°09: construcción del diagrama momento rotación

La ductilidad del elemento viene dada por:
, se puede contrastar con la ductilidad de la sección, de la forma:
.
Imagen N°01: idealización conceptual para la aplicación del método del área de momentos

Entre estas variables, resaltan la curvatura cedente (θy (rad/cm)) , asociada a la cedencia de las fibras extremas de la sección y la curvatura última (θpult(rad/cm)), la cual hace referencia a la plastificación total de la misma. Para una mejor comprensión de la obtención de estos valores de curvatura, te invito que revises mi post (https://steemit.com/sismo-resistencia/@eliaschess333/abordaje-didactico-para-la-obtencion-de-diagramas-momento-vs-curvatura-tomando-como-referencia-un-perfil-de-acero).
Al mismo tiempo, se aprecia en la imagen N°01 la variable “Lp”, que significa “longitud de rótula plástica o articulación plástica”, y tiene que ver directamente con la ductilidad que pueda desarrollar el elemento estructural, es decir, su capacidad de incursión en el rango inelástico.
En líneas generales, estas variables definen las dimensiones de los polígonos, que se generan, y el cálculo del área de estos, permitirá encontrar la rotación ∅(rad), tanto cedente como última que se produce en el elemento estructural, para así determinar la ductilidad del mismo, permitiendo de este modo idealizar un caso real como se aprecia en la imagen N°01, y afianzar así conceptos de importancia en la ingeniería sismo-resistente.
CRITERIOS UTILIZADOS PARA LA OBTENCIÓN DEL DIAGRAMA MOMENTO ROTACIÓN
La información que se obtiene en la elaboración del diagrama momento curvatura está referida a un estado de cedencia de la sección, en el que las fibras extremas alcanzan ε_y, y varios estados de progresión de la cedencia hacia las fibras internas de esta, que producen la plastificación total; no obstante, debemos tener muy presentes que la sección no es más que la representación transversal del elemento estructural; por ejemplo en la imagen N°01, se aprecia la viga (elemento estructural), de sección “I”.
Por lo tanto conviene imaginarse ahora una carga “P” que al aplicarse al elemento estructural, incrementándose de forma gradual hasta alcanzar Pu, es capaz de producir la plastificación total en una zona de este, que se extiende a un área de influencia (ver imagen N°02); en ese instante desaparece todo momento resistente, y se alcanzan grandes rotaciones, con pequeños incrementos de esfuerzos, por lo que se está en presencia de una articulación o rótula plástica, y este aspecto puede ser representado gracias al uso de los diagramas momento rotación.
Imagen N°02: articulación plástica

En lo referente a la aplicación del “MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTOS”, conviene aclarar ciertos aspectos conceptuales, provenientes de la estática y que se ilustran en la imagen N°03:
Imagen N°03: diagrama de corte y momento, viga simplemente apoyada, carga puntual en el medio del tramo

Se aprecia en la imagen N°03, que el momento máximo, está ocurriendo en el medio del tramo, producto de la carga puntual P, la cual se incrementará hasta lograr la cedencia y plastificación de toda la sección, cuyo daño se extiende a una zona de influencia; y que todo en conjunto representa una condición de rótula plástica. Partiendo de estos hechos, se ilustra en la imagen N°04, las curvaturas cedentes y última en el medio del tramo, cuyo cálculo es necesario para la elaboración del diagrama momento-rotación, donde se estará aplicando el método de área de momentos, para el cálculo de rotaciones y deflexiones máximas alcanzadas.
Imagen N°04: planteamiento de datos provenientes del diagrama momento-curvatura

Al partir de que en el medio del tramo se está produciendo una articulación plástica, es decir, no hay existencia de momento resistente en esa zona, podemos imaginar el elemento estructural, dividido en dos partes:
Imagen N°05: idealización del concepto de rótula plástica

Este hecho, permite aproximar el problema de una viga simplemente apoyada con una carga en el medio del tramo, a una viga en voladizo, con una carga en el extremo como se ilustra a continuación:
Imagen N°6: simplificación del problema a una viga simplemente apoyada

Al contrastar la imagen N°03 y la N°06, se observa que se alcanza el mismo momento máximo, lo que le da confiabilidad a la simplificación realizada; el propósito de esta simplificación es para ilustrar de mejor manera el tema de la “rótula plástica”, para la posterior elaboración del diagrama momento-rotación, dado que un empotramiento se caracteriza, por impedir desplazamientos y rotaciones; no obstante, al producirse la cedencia, y la plastificación progresiva de la sección, con la consecuente extensión del daño a una zona de influencia (ver imagen N°02) la resistencia al momento va desapareciendo cada vez más, hasta producirse la articulación plástica. En la imagen N°07, podemos observar la representación de los datos de curvatura de la sección, y en la imagen N°08, se especifica una variable clave a definir en la aplicación del método de momento de área como lo es la longitud de la rótula plástica “Lp”. Al respecto señala McCorma (2002) que para un perfil W, esta se extiende a un octavo del claro conforme a la fórmula abajo señalada; y esto aplica a secciones "I" que es el caso en estudio.

Imagen N°08: representación de variables para la aplicación del método de área de momentos

Al analizar la imagen N°08, y por aplicación del método del área de momentos, se deducen las siguientes relaciones:
a.- Estado de cedencia fibras extremas de la sección – comienzo de formación de rotula plástica en el elemento
 y deflexión total (cm), en este estado, se obtiene a través de la suma de áreas y momentos de área de la forma:
.
Tabla N°01: sinopsis de datos del diagrama momento curvatura de la sección

Calculamos la longitud de rótula plástica Lp:

Imagen N°09: construcción del diagrama momento rotación

La ductilidad del elemento viene dada por:
, se puede contrastar con la ductilidad de la sección, de la forma:
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