Introducción a la teoría de conjuntos y su notación
La noción de conjunto es una idea básica y natural en Matemáticas. La la teoría de conjuntos descrita de manera rigurosa es una tarea mucho más compleja de lo que se intentaremos mostrar aquí. Para comenzar, todos aceptaremos y asumiremos que tenemos una idea más o menos clara de lo que es un conjunto de objetos o de elementos. Por ejemplo, podemos dar algunos conjuntos que nuestra mente puede fácilmente identificar, a saber:
- el conjunto de los números enteros,
- el conjunto de los números pares,
- el conjunto de los puntos de una recta,
- el conjunto de las rectas de un plano
- el conjunto de ...
así comienza a volar nuestra mente y crear conjuntos de todos los objetos que se nos puedan ocurrir, haga el intento y verá todo lo que se puede clasificar como conjunto.
Desde la escuela básica y la escuela secundaria se ha desarrollado este lenguaje y lo utilizaremos sin más definiciones.
Los conjuntos usualmente se denotan con letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas. Para decir que 
Aceptaremos que existe un conjunto llamado vacío, que no tiene elemento alguno y lo vamos a denotar con el símbolo 
- El conjunto de las rectas del plano que pasan por un punto fijo P, esta contenido en el conjunto de todas las rectas del plano.
- El conjunto de todos los números enteros múltiplos de 4, es un subconjunto del conjunto de los números pares.
- La colección de todos los capítulos de un libro, es un ejemplo de un conjunto.
Operaciones o Álgebra de conjuntos
Si A y B son dos conjuntos, se pueden crear nuevos conjuntos a partir de ellos mediante operaciones elementales.
- El conjunto intersección: La intersección de A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A y a B, se denota por
.
En otras palabras, escrito de manera formal, tenemos:. Si la intersección de dos conjuntos es vacía, es decir,
, se dice que los conjuntos son disjuntos.
Imagen elaborada por, diseñadas y editada con GIMP.
- El conjunto Unión: La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que están en A ó en B. Se denota por
.
En otras palabras, escrito de manera formal, tenemos:
Imagen elaborada por - El conjunto Diferencia: La diferencia del conjunto A menos el conjunto B es el conjunto formado por todos los elementos de A que no están en B. Se denota por
.
En otras palabras, escrito de manera formal, tenemos:
Imagen elaborada por - El conjunto universal o universo: Como conjunto universal vamos a denotar a un conjunto E especial, el cual contiene todos los elementos que se desean considerar en el problema, o tema, sin pretender contener todo lo que no es de interés al problema del cual estemos hablando. Este conjunto universal se supone conocido en cada problema y del cual se pueden seleccionar elementos para construir subconjuntos.
- El conjunto Complemento: Digamos que tenemos un conjunto universal E. Cualquier conjunto A que se considere será un subconjunto de E, es decir, formalmente se representa por
. Así, la diferencia
se llamará el complemento de A y se denotará por
.
En otras palabras, escrito de manera formal, tenemos:
Imagen elaborada por
Propiedades de las operaciones con conjuntos
Las operaciones con conjuntos, gozan de algunas propiedades de fácil comprobación las cuales vamos a enunciar, a saber:
- La unión y la intersección son conmutativas
Imagen elaborada pory GIMP.
- La unión y la intersección son asociativas
Imagen elaborada por - La unión es distributiva con respecto a la intersección
Imagen elaborada por - La intersección es distributiva con respecto a la unión
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Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado leyendo y estudiando esta publicación, los espero en una próxima entrega donde seguiré tratando algunos temas de matemáticas, para así, además de compartir con ustedes mi experiencia, pueda servir de apoyo a ustedes, hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco mas del maravilloso mundo de las matemáticas. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.
Si desean consultar un poco más del tema pueden usar las siguientes referencias.
- Devlin, Keith. Sets, functions, and logic: an introduction to abstract mathematics. CRC Press, 2003.
- Lipschutz, Seymour. Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. 1991.
También los invito a leer mis otras publicaciones que puedan ser de su interés:
- El triángulo de Pascal y los productos notables.
- Resolución de Ecuaciones e Inecuaciones lineales de 1er orden con una incógnita.
- Resolución de una ecuación de 2do grado con una incógnita.
- Otras consideraciones de la ecuación de 2do grado con una incógnita.
- Resolución de inecuaciones de 2do grado con una incógnita en el conjunto de los números reales.
- Sistema de dos ecuaciones de 1er grado con dos incógnitas
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