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Por lo general buscamos carácter de proporción en innumerables procesos de nuestra cotidianidad, por ejemplo; cuando elaboramos cualquier figura a escala más reducidas o viceversa tratamos de hacerlo en proporción, o cuando realizamos cualquier proceso en particular como tocar la cuerda de una guitarra tanto la intensidad como la duración del sonido guardan relación proporcional con la presión o fuerza que hemos ejercido a dicha cuerda, la aplicación de este término es muy amplia y práctica.
Por lo tanto podemos determinar e ir configurando el enfoque o propósito del término de proporción, al referirnos a este concepto sin duda estamos haciendo una relación de armonía entre las partes que conforman una determinada entidad o cosa la cual consideramos como un todo, es así como nos referimos a una determinada figura geométrica cuando es proporcional.
Esto hace que el término de proporción sea fundamental en geometría, ya que en matemáticas este concepto se expresa en valores exactos o precisos debido a la relación entre magnitudes o cantidades numéricas, los cuales sin duda también guardan relaciones de proporcionalidad.
Podemos entonces resaltar la importancia de conocer la proporción entre cantidades, ya que nos permitirá comprender y poder determinar una proporcionalidad geométrica determinada, para ello necesario es manejar las definiciones intrínsecas como:
Razón:
Constituye el cociente entre dos números con un orden determinado pero los mismos deben ser diferentes de cero.
Proporción:
Esta proporción resulta si dados cuatro números cualesquiera pero distintos de cero y con cierto orden, la razón de los dos primeros es igual a la razón de los dos segundos, por ejemplo:
Si tenemos cuatros números cualesquiera b, c, d, e, entonces para que exista proporción entre ellos se debe cumplir;
Estos cocientes podemos leerlos así:
Tomando en cuenta la importancia de la utilización del criterio de proporcionalidad debemos tener en cuenta sus propiedades, las cuales permiten consolidar tan esencial concepto:
1.- La primera propiedad nos indica que el producto de los extremos en una determinada proporción debe ser igual al producto de sus medios, ejemplo:
2.- Siguiendo con las propiedades tenemos que en cualquier proporción la adición del antecedente y consecuente de la primera razón son divididos por su antecedente, así como el antecedente y consecuente para la segunda razón es dividido por su respectivo antecedente, ejemplo:
3.- Para la siguiente propiedad tenemos que la adición del antecedente y consecuente de su primera razón es dividido por su consecuente de la misma manera ocurre para la segunda razón, esto en toda proporción, ejemplo:
4.- Ahora para cualquier proporción tenemos que para la resta del antecedente y consecuente de la primera razón es dividido por su antecedente igualmente se procede para la segunda razón, ejemplo:
5.- Para cualquier proporción tenemos que la resta del antecedente y consecuente de la primera razón es dividido por su consecuente igualmente se procede para la segunda razón, ejemplo:
6.- Para la siguiente propiedad tenemos que para toda proporción la adición del antecedente y consecuente correspondiente a su primera razón es a su resta, de esta misma forma se hace para la segunda razón, ejemplo:
7.- Ahora la resta o diferencia del antecedente y consecuente de la primera razón es dividida por su adición, lo mismo ocurre para la segunda razón, ejemplo:
Muchos de nosotros constantemente hemos escuchado las expresiones de proporcionalidad directa o inversa, es decir, cuando tenemos una relación entre dos o más cantidades o magnitudes la disminución o incremento de una de ellas tiene consecuencia proporcional de esta misma forma en la otra, decimos entonces que dichas cantidades son directamente proporcionales, pero sí en cambio tenemos un aumento de una de ellas y con esto la disminución de la otra o viceversa decimos entonces que dichas magnitudes son inversamente proporcionales, ejemplo:
En la siguiente formula de presión tenemos:
P= Presión
F= Fuerza
A= Área
Donde la presión es inversamente proporcional al tamaño del área donde sea aplicada, es decir, mientras mayor sea el área menor será el valor de la presión con la aplicación de una fuerza constante.
Por lo tanto la fuerza será directamente proporcional a las magnitudes de presión y área.
Bases fundamentales para la proporcionalidad entre figuras geométricas:
Concretamente podemos afirmar que el concepto de proporción se convirtió en la piedra angular desarrollada por la matemática griega, permitiendo además el nexo de hermandad entre la aritmética y la geometría, es decir, la relación entre cantidades numéricas con magnitudes continuas como las líneas, superficies y volúmenes, cuando nosotros hacemos referencia a una proporción ligada a la igualdad de dos razones esto nos lleva a relacionar la semejanza entre las mismas, esto representa la base de la geometría elemental, por tal razón intuitivamente consideramos dos figuras como semejantes cuando ambas a pesar de tener diferentes tamaños deben ser diseñadas proporcionalmente para poder admitir su misma forma, por lo tanto es más que necesario tener en cuenta dos importantísimas propiedades como lo son el paralelismo y la perpendicularidad ya que ambas deben permanecer inalterables siempre y cuando las dimensiones varíen en forma proporcional.
Esto lo podemos verificar en la proporcionalidad entre varios segmentos, por lo tanto si tenemos cuatros segmentos con un cierto orden y tenemos que la razón entre las magnitudes de los dos primeros es igual a la razón entre las magnitudes de los dos segundos segmentos, entonces dichos segmentos son proporcionales, ejemplo:
Si de damos valores aritméticos tenemos lo siguiente:
Con esto comprobamos la hermandad de la aritmética y la geometría debido a que las proporciones entre los segmentos tienen las mismas propiedades que las proporciones numéricas. La aritmética es un lenguaje de símbolo por lo que la hace ser una abstracción de la proporcionalidad geométrica, ya que por medio de los mismo se representan numéricamente las medidas de los segmentos de cada figura geométrica, resaltando el teorema de tales, donde se fundamenta que si tenemos tres o más paralelas las cuales son cortadas por dos transversales, entonces decimos que a segmentos proporcionales en una de ellas les debe corresponder segmentos proporcionales en la otra, podemos agregar también que toda paralela a un lado de un figura geométrica como el triángulo divide a los otros lados en segmentos iguales.
Un claro ejemplo de la proporcionalidad geométrica lo representan la construcción a escalas de los distintos mapas, donde un determinado territorio es trasladado a un menor tamaño pero guardando las propiedades antes descritas para cuidar las formas geométricas, por lo que siempre encontramos en los mismo la relación de escala por decir; 1:100 donde expresa que una unidad en el papel mide 100 unidades sobre el terreno, es decir, claramente una escala de reducción proporcional.
Esperando que les haya sido de su agrado este artículo sobre la proporcionalidad, una importante e indispensable herramienta para la conformación tanto de figuras geométricas como de otro tipo de aplicaciones en cualquier ámbito de nuestro saber académico-científico.
Nota: las imágenes que no tienen fuentes fueron elaboradas mediante la aplicación de Paint de Windows 7.
Referencia bibliográfica:
George Wentworth and David Eugene Smith (1915). Geometría Plana y del Espacio. Printed in the United States of America.